第5問 場合の数の解答・解説

どの行にも $1,2,3,4$ が1回ずつ現れるので、各行は $1,2,3,4$ の並べ替えである。

1行目。 $4!=24$ 通り。以下、1行目を固定して数え、最後に $24$ を掛ける。

2行目。 どの列でも1行目と違う数字が来るので、2行目は1行目に対する完全順列（どの位置も動く並べ替え）である。$4$ 個の完全順列は $9$ 通りで、その内訳は

1. 2つずつ入れ替える型（たとえば $1234\to 2143$）：$4$ 個を2組のペアに分ける分け方で $3$ 通り。
2. $4$ つが順に回る型（たとえば $1234\to 2341$）：$3!=6$ 通り。

である（$3+6=9$）。

3・4行目。 各列には、1行目と2行目で使った数字以外の2つが残る。3行目はその残り2つから1つずつ選んで並べ替えになるようにし、4行目は自動的に決まる。

1行目を $1,2,3,4$ として型ごとに数える。

1. 2つずつ入れ替える型（例：2行目が $2,1,4,3$）。各列の残りは左から $\{3,4\},\{3,4\},\{1,2\},\{1,2\}$ である。3行目は左2列に $3,4$ を並べ（$2$ 通り）、右2列に $1,2$ を並べる（$2$ 通り）ので $4$ 通り。4行目は残りで決まる。よって $3\times 4=12$ 通り。
2. $4$ つが順に回る型（例：2行目が $2,3,4,1$）。各列の残りは $\{3,4\},\{1,4\},\{1,2\},\{2,3\}$ である。1列目に $3$ を置くと4列目は $2$、3列目は $1$、2列目は $4$ と順に決まり $3,4,1,2$。$4$ を置くと $4,1,2,3$。よって $2$ 通りで、$6\times 2=12$ 通り。

1行目を固定したときの総数は $12+12=24$ 通りである。したがって全体は

通りである。

$n\times n$ でこのような入れ方の総数は「ラテン方陣の個数」と呼ばれ、$n=4$ では $576$ である。$n=5$ では $161280$ と急に増え、一般の公式は知られていない。