第1問複素数平面の解答・解説

解と係数の関係・正三角形・平行移動・3乗根当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$z^{3} + 3 a z^{2} + b z + 1 = 0$ （ $a > 0$ 、 $a, b$ 実数）の3解が一辺 $3 a$ の正三角形の頂点になるとき、 $a, b$ と3解を求める

答 $a = \frac{3 4}{2}$ 、 $b = \frac{3 3 2}{2}$ 、3解は $- 34$ と $\frac{3 4}{4} (- 1 \pm 3 i)$

3解の和が $- 3 a$ なので重心は $- a$ である。重心を原点に移すと「和が $0$ の正三角形」になり、 $w^{3} =$ 定数という形の方程式の3解になる。そこで $z = w - a$ と置き換えると、もとの方程式が $w^{3} =$ 定数になるはずで、その条件から $a$ が決まる。

3解を $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ とすると、解と係数の関係より

z_{1} + z_{2} + z_{3} = - 3 a, z_{1} z_{2} + z_{2} z_{3} + z_{3} z_{1} = b, z_{1} z_{2} z_{3} = - 1

である。重心は $\frac{z _{1} + z _{2} + z _{3}}{3} = - a$ で、正三角形の重心は外心でもあるから、3解は中心 $- a$ 、半径 $R$ の円周上に $12 0^{\circ}$ おきに並ぶ。一辺 $3 a$ の正三角形では（一辺） $= 3 R$ なので $R = a$ である。

平行移動する。 $w = z + a$ とおくと、 $w_{k} = z_{k} + a$ は絶対値 $a$ で偏角が $12 0^{\circ}$ ずつ違う3つの複素数だから、ある実数 $θ$ を使って

w_{k} = a e^{i (θ + \frac{2 k π}{3})} (k = 0, 1, 2)

と書ける。このとき

w_{0} + w_{1} + w_{2} = 0, w_{0} w_{1} + w_{1} w_{2} + w_{2} w_{0} = 0, w_{0} w_{1} w_{2} = a^{3} e^{3 i θ}

である（前2つは $1 + ω + ω^{2} = 0$ から）。つまり $w_{0}, w_{1}, w_{2}$ は $w^{3} = a^{3} e^{3 i θ}$ の3解である。

$a$ を決める。 $z_{k} = w_{k} - a$ なので

z_{1} z_{2} z_{3} = k \prod (w_{k} - a) = - k \prod (a - w_{k}) = - (a^{3} - a^{3} e^{3 i θ})

である（ $\prod (x - w_{k}) = x^{3} - a^{3} e^{3 i θ}$ に $x = a$ を代入した）。これが $- 1$ に等しいので

a^{3} (1 - e^{3 i θ}) = 1

である。左辺が正の実数になるには $e^{3 i θ}$ が実数、つまり $e^{3 i θ} = \pm 1$ でなければならない。 $e^{3 i θ} = 1$ だと左辺が $0$ になって不適だから $e^{3 i θ} = - 1$ で

2 a^{3} = 1 ⟹ a = \frac{1}{3 2} = \frac{3 4}{2}

である。

解を書き下す。 $e^{3 i θ} = - 1$ より $θ = \frac{π}{3}$ ととってよい（他の $θ$ は3解の入れ替えになるだけ）。このとき

w_{0} = a e^{i \frac{π}{3}}, w_{1} = a e^{iπ} = - a, w_{2} = a e^{i \frac{5 π}{3}}

なので、 $z_{k} = w_{k} - a$ は

z = - 2 a, z = - \frac{a}{2} \pm \frac{3}{2} a i

である。 $a = \frac{3 4}{2}$ を入れると

z = - 34, z = \frac{3 4}{4} (- 1 \pm 3 i)

である。

$b$ 。 $z_{2} + z_{3} = - a$ 、 $z_{2} z_{3} = \frac{a ^{2}}{4} + \frac{3 a ^{2}}{4} = a^{2}$ （ $z_{1} = - 2 a$ とした）なので

b = z_{1} (z_{2} + z_{3}) + z_{2} z_{3} = (- 2 a) (- a) + a^{2} = 3 a^{2} = 3 \cdot \frac{3 16}{4} = \frac{3 3 2}{2}

である（ $a^{2} = 2^{- 2/3} = \frac{3 2}{2}$ ）。 $b$ は実数なので、題意にも合っている。

3解の位置。重心（

=

外心）は

- a = - 0.794

で、

- 34 = - 1.587

と

\frac{3 4}{4} (- 1 \pm 3 i) = - 0.397 \pm 0.687 i

が一辺

3 a = 1.375

の正三角形をなす。

$a = 0.793701$ 、 $b = 1.889882$ として3解 $- 1.587401$ 、 $- 0.396850 \pm 0.687364 i$ から多項式を組み立てると、係数は $1, 2.381102, 1.889882, 1$ となり、 $3 a = 2.381102$ 、 $b = 1.889882$ と一致する。3解の相互の距離はすべて $1.374730 = 3 a$ である。