第2問数列・極限の解答・解説

対称式の漸化式・偶奇・sin の周期・はさみうち当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)すべての正の整数 $n$ に対し $α^{n} + β^{n}$ が偶数の整数であることを示す

答 $s_{n} = α^{n} + β^{n}$ は $s_{n + 1} = 2 p s_{n} + s_{n - 1}$ 、 $s_{0} = 2$ 、 $s_{1} = 2 p$ をみたすので、帰納法で整数かつ偶数

対称式なので、解と係数の関係から漸化式が立つ。 $α, β$ が $x^{2} = 2 p x + 1$ をみたすことを使えば、2項間ならぬ3項間の漸化式が出る。初項2つが偶数なら、漸化式の形から全部偶数になる。

解と係数の関係より $α + β = 2 p$ 、 $α β = - 1$ である。 $s_{n} = α^{n} + β^{n}$ とおく。 $α, β$ は $x^{2} = 2 p x + 1$ をみたすので、両辺に $x^{n - 1}$ を掛けて足すと

s_{n + 1} = 2 p s_{n} + s_{n - 1} (n \geq 1)

である。また

s_{0} = 2, s_{1} = α + β = 2 p

である。

帰納法。 $s_{0} = 2$ 、 $s_{1} = 2 p$ はどちらも偶数の整数である。 $s_{n - 1}, s_{n}$ が偶数の整数なら、 $s_{n + 1} = 2 p s_{n} + s_{n - 1}$ も整数で、 $2 p s_{n}$ も $s_{n - 1}$ も偶数だから $s_{n + 1}$ も偶数である。よってすべての $n \geq 0$ で $s_{n}$ は偶数の整数であり、とくに正の整数 $n$ について成り立つ。

$p = 1$ なら $s_{n}$ は $2, 2, 6, 14, 34, 82, \dots$ 、 $p = 2$ なら $2, 4, 18, 76, 322, \dots$ である。どれも偶数になっている。

$p = 1, 2, 3, 5$ について漸化式で $s_{n}$ を計算すると $n \leq 40$ ですべて偶数の整数で、 $α^{n} + β^{n}$ の数値とも一致する。

$s_{0} = 2$ から始める。 $s_{1}, s_{2}$ だけを初期値にすると、 $s_{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 4 p^{2} + 2$ を別に計算することになる（結果は同じ）。

漸化式の係数が $+ 1$ （ $s_{n - 1}$ の符号）なのは $α β = - 1$ だからである。 $x^{2} - 2 p x - 1 = 0$ の $- 1$ を落とさない。

(2) $n \to \infty lim (- α)^{n} sin (α^{n} π)$ を求める

答 $- π$

$α β = - 1$ より $β^{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{α ^{n}}$ である。(1) から $α^{n}$ は「偶数の整数」から小さい数を引いた形になるので、 $sin (α^{n} π)$ がその小さい数だけで書ける。あとは $\frac{s i n x}{x} \to 1$ を使う。

$α β = - 1$ より $β = - \frac{1}{α}$ で、 $∣ α ∣ > 1$ だから $∣ β ∣ < 1$ である。実際 $α = p + p^{2} + 1 > 1$ 、 $β = p - p^{2} + 1 \in (- 1, 0)$ である。

(1) の $s_{n}$ （偶数の整数）を使うと

α^{n} = s_{n} - β^{n} = s_{n} - \frac{( - 1 ) ^{n}}{α ^{n}}

である。したがって

sin (α^{n} π) = sin (s_{n} π - \frac{( - 1 ) ^{n} π}{α ^{n}})

で、 $s_{n}$ は偶数だから $sin (s_{n} π - x) = sin (- x) = - sin x$ である。さらに $sin$ は奇関数なので

sin (α^{n} π) = - sin \frac{( - 1 ) ^{n} π}{α ^{n}} = - (- 1)^{n} sin \frac{π}{α ^{n}}

である。よって

(- α)^{n} sin (α^{n} π) = (- 1)^{n} α^{n} \cdot (- (- 1)^{n}) sin \frac{π}{α ^{n}} = - α^{n} sin \frac{π}{α ^{n}}

となる。

極限。 $α > 1$ より $α^{n} \to \infty$ 、つまり $t_{n} = \frac{π}{α ^{n}} \to 0$ である。

- α^{n} sin \frac{π}{α ^{n}} = - π \cdot \frac{sin t _{n}}{t _{n}} n \to \infty - π

である。したがって求める極限は

- π

である。

$s_{n}$ が偶数であることがここで効く。奇数だと $sin (s_{n} π - x) = sin x$ となって符号が変わり、極限は $+ π$ になる。(1) は (2) のための準備である。

恒等式 $sin (α^{n} π) = - (- 1)^{n} sin \frac{π}{α ^{n}}$ は $p = 1, 2, 3, 5$ 、 $n \leq 8$ で数値的に成り立つ。 $- α^{n} sin \frac{π}{α ^{n}}$ は $n = 10, 20, 40$ でいずれも $- 3.141592654 = - π$ になる。