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北海道大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　文系

北大文系 2025年度数学第3問（数列）の解答・解説

北海道大学（北大文系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・文系入試の数学第3問（分野：数列）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「隣接3項間漸化式・階差数列・部分分数分解と和」を扱います。

出題テーマ：隣接3項間漸化式・階差数列・部分分数分解と和当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $a_{1} = 1, a_{2} = 3, (n + 1) a_{n + 2} - (2 n + 3) a_{n + 1} + (n + 2) a_{n} = 0$ に対し、 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおくと $b_{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1} b_{n}$ が成り立つことを示す

答 $(n + 1) (a_{n + 2} - a_{n + 1}) - (n + 2) (a_{n + 1} - a_{n}) = 0$ と変形して両辺を $n + 1$ で割ることで示される

真ん中の係数 $2 n + 3 = (n + 1) + (n + 2)$ を分解して、階差 $a_{n + 2} - a_{n + 1}$ と $a_{n + 1} - a_{n}$ の形にまとめる。

与えられた漸化式において $2 n + 3 = (n + 1) + (n + 2)$ であるから、

(n + 1) (a_{n + 2} - a_{n + 1}) - (n + 2) (a_{n + 1} - a_{n}) = 0

と変形できる。 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ より $a_{n + 2} - a_{n + 1} = b_{n + 1}$ であるから

(n + 1) b_{n + 1} = (n + 2) b_{n}

$n ≧ 1$ より $n + 1 \neq = 0$ だから、両辺を $n + 1$ で割って

b_{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1} b_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

が成り立つ。 $■$

$n = 1$ のとき $2 a_{3} - 5 a_{2} + 3 a_{1} = 0$ より $a_{3} = 6$ 、 $b_{1} = 2, b_{2} = 3$ で $b_{2} = \frac{3}{2} b_{1}$ が成り立つ。

(2)数列 ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

(1) の漸化式の両辺を $n + 2$ で割る（または積を順に書き下す）ことで $b_{n}$ を求め、階差数列から $a_{n}$ を復元する。

(1) の式の両辺を $n + 2$ で割ると

\frac{b _{n + 1}}{n + 2} = \frac{b _{n}}{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

となり、数列 ${\frac{b _{n}}{n + 1}}$ は定数数列である。 $b_{1} = a_{2} - a_{1} = 3 - 1 = 2$ だから

\frac{b _{n}}{n + 1} = \frac{b _{1}}{2} = \frac{2}{2} = 1 ⟺ b_{n} = n + 1

を得る。よって $n ≧ 2$ のとき

a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 b_{k} = 1 + k = 1 \sum n - 1 (k + 1) = m = 1 \sum n m = \frac{n ( n + 1 )}{2}

である。これは $n = 1$ のときも $\frac{1 \cdot 2}{2} = 1 = a_{1}$ となって成り立つ。したがって

a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2} (n = 1, 2, 3, \dots)

である。

$n = 1, 2, 3$ で $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{3} = 6$ となり一致する。

(3) $n = 1 \sum 225 \frac{1}{a _{n}}$ の値を求める

答 $\frac{225}{113}$

$\frac{1}{a _{n}} = \frac{2}{n ( n + 1 )} = 2 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ と部分分数分解して中間の項を相殺する。

(2) より

\frac{1}{a _{n}} = \frac{2}{n ( n + 1 )} = 2 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})

であるから、求める和は

n = 1 \sum 225 \frac{1}{a _{n}} = 2 n = 1 \sum 225 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 2 {(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{225} - \frac{1}{226})} = 2 (1 - \frac{1}{226}) = 2 \cdot \frac{225}{226} = \frac{225}{113}

である。

上限を $N = 1$ に変えると $\frac{1}{1} = 1$ 、式も $2 (1 - \frac{1}{2}) = 1$ で一致する。

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問題文について

(1)a1​=1, a2​=3, (n+1)an+2​−(2n+3)an+1​+(n+2)an​=0 に対し、bn​=an+1​−an​ とおくと bn+1​=n+1n+2​bn​ が成り立つことを示す

(2)数列 {an​} の一般項を求める

(3)n=1∑225​an​1​ の値を求める