北大文系 2025年度数学第2問（整数・図形と計量）の解答・解説

北海道大学（北大文系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・文系入試の数学第2問（分野：整数・図形と計量）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「三角形の成立条件・鋭角・直角三角形の判定・余弦定理」を扱います。

出題テーマ：三角形の成立条件・鋭角・直角三角形の判定・余弦定理当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

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答 $(a, b, c) = (2, 3, 4), (2, 4, 5), (2, 5, 6), (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)$

最小の整数 $a$ の値（ $a = 2, 3, 4$ ）で場合分けして、漏れなく小さい順に書き出す。

条件 $2 ≦ a < b < c ≦ 6$ より、 $a$ のとりうる値は $a = 2, 3, 4$ である。 $a$ の値で場合分けして $a + b > c$ （すなわち $c < a + b$ ）を満たす組を調べる。

$a = 2$ のとき： $c < b + 2$ かつ $b < c$ （ともに整数）より $c = b + 1$ となる。よって $(a, b, c) = (2, 3, 4), (2, 4, 5), (2, 5, 6)$ の3組。
$a = 3$ のとき： $b ≧ 4$ だから $a + b ≧ 7 > 6 ≧ c$ となり、 $3 < b < c ≦ 6$ を満たすすべての組が適する。よって $(a, b, c) = (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6)$ の3組。
$a = 4$ のとき： $4 < b < c ≦ 6$ より $(a, b, c) = (4, 5, 6)$ の1組のみであり、 $4 + 5 = 9 > 6$ を満たす。

以上より、求める組は

(a, b, c) = (2, 3, 4), (2, 4, 5), (2, 5, 6), (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)

の7組である。

全 $_{5} C_{3} = 10$ 組のうち、不適なものは $(2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 6)$ の3組だけで、 $10 - 3 = 7$ 組。

答 $(a, b, c) = (3, 4, 5), (4, 5, 6)$

正の整数に対して $a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ ならば $(a + b)^{2} > a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ より $a + b > c$ が成り立つから、(1) の7組のなかで $a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ を満たすものを調べればよい。

$a, b, c$ は正であるから、 $a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ が成り立つとき

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} > a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}

より $a + b > c$ も成り立つ。したがって (1) で求めた7組について $a^{2} + b^{2}$ と $c^{2}$ を比較すればよい。

$(2, 3, 4)$ ： $2^{2} + 3^{2} = 13 < 16 = 4^{2}$ （不適）
$(2, 4, 5)$ ： $2^{2} + 4^{2} = 20 < 25 = 5^{2}$ （不適）
$(2, 5, 6)$ ： $2^{2} + 5^{2} = 29 < 36 = 6^{2}$ （不適）
$(3, 4, 5)$ ： $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2}$ （適する）
$(3, 4, 6)$ ： $3^{2} + 4^{2} = 25 < 36 = 6^{2}$ （不適）
$(3, 5, 6)$ ： $3^{2} + 5^{2} = 34 < 36 = 6^{2}$ （不適）
$(4, 5, 6)$ ： $4^{2} + 5^{2} = 41 > 36 = 6^{2}$ （適する）

よって求める組は

(a, b, c) = (3, 4, 5), (4, 5, 6)

の2組である。

等号 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を含むので、直角三角形となる $(3, 4, 5)$ も含まれる。

答 $(a, b, c) = (3, 4, 5)$ のとき $cos ∠ ACB = 0$ 、 $(a, b, c) = (4, 5, 6)$ のとき $cos ∠ ACB = \frac{1}{8}$

$△ ABC$ に余弦定理 $cos ∠ ACB = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ を適用する。

$△ ABC$ において余弦定理より

cos ∠ ACB = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

である。(2) の2組をそれぞれ代入すると：

$(a, b, c) = (3, 4, 5)$ のとき： $cos ∠ ACB = \frac{9 + 16 - 25}{2 \cdot 3 \cdot 4} = 0$ 。
$(a, b, c) = (4, 5, 6)$ のとき： $cos ∠ ACB = \frac{16 + 25 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$ 。