北大文系 2025年度数学第1問（微分法）の解答・解説

北海道大学（北大文系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・文系入試の数学第1問（分野：微分法）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「3次関数の極大値・極小値・曲線上の点を通る接線・3次方程式の因数分解」を扱います。

出題テーマ：3次関数の極大値・極小値・曲線上の点を通る接線・3次方程式の因数分解当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

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(1)関数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30$ が極大値・極小値をとる $x$ と、その極大値・極小値を求める

答 $x = - 1$ で極大値 $38$ 、 $x = 5$ で極小値 $- 70$

$f^{'} (x)$ を因数分解して符号変化を調べ、増減表から極大・極小を特定する。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30$ を微分すると

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x - 15 = 3 (x + 1) (x - 5)

となる。 $f^{'} (x) = 0$ とすると $x = - 1, 5$ であり、 $f (x)$ は $x ≦ - 1$ で増加、 $- 1 ≦ x ≦ 5$ で減少、 $x ≧ 5$ で増加する。それぞれの値は

f (- 1) f (5) = (- 1)^{3} - 6 (- 1)^{2} - 15 (- 1) + 30 = - 1 - 6 + 15 + 30 = 38, = 5^{3} - 6 \cdot 5^{2} - 15 \cdot 5 + 30 = 125 - 150 - 75 + 30 = - 70

であるから、 $x = - 1$ で極大値 $38$ 、 $x = 5$ で極小値 $- 70$ をとる。

3次係数 $1 > 0$ だから、小さい方の解 $x = - 1$ で極大、大きい方の解 $x = 5$ で極小となる。

(2)曲線 $C : y = f (x)$ 上の点 $(- 3, - 6)$ を通り、 $C$ に接する直線の方程式をすべて求める

答 $y = 48 x + 138, y = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}$

「点 $(- 3, - 6)$ を通り $C$ に接する」とは、 $(- 3, - 6)$ 自身が接点である場合と、別の点 $(t, f (t))$ における接線が $(- 3, - 6)$ を通る場合の両方を含む。接点を $(t, f (t))$ とおいて立式する。

曲線 $C$ 上の接点を $(t, f (t))$ とおくと、接線の方程式は

y = (3 t^{2} - 12 t - 15) (x - t) + (t^{3} - 6 t^{2} - 15 t + 30) = (3 t^{2} - 12 t - 15) x - 2 t^{3} + 6 t^{2} + 30

である。この直線が点 $(- 3, - 6)$ を通るための必要十分条件は

- 6 = - 3 (3 t^{2} - 12 t - 15) - 2 t^{3} + 6 t^{2} + 30 ⟺ 2 t^{3} + 3 t^{2} - 36 t - 81 = 0

である。点 $(- 3, - 6)$ における接線は $t = - 3$ に対応するから、左辺は $(t + 3)^{2}$ を因数にもち、

(t + 3) (2 t^{2} - 3 t - 27) = (t + 3)^{2} (2 t - 9) = 0

より $t = - 3, \frac{9}{2}$ を得る。

$t = - 3$ のとき：傾きは $f^{'} (- 3) = 3 (- 2) (- 8) = 48$ だから、 $y = 48 (x + 3) - 6 = 48 x + 138$ 。
$t = \frac{9}{2}$ のとき：傾きは $f^{'} (\frac{9}{2}) = 3 \cdot \frac{11}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{33}{4}$ だから、 $y = - \frac{33}{4} (x + 3) - 6 = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}$ 。

以上より、求める直線の方程式は

y = 48 x + 138, y = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}

である。

3次曲線

C : y = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30

と、点

(- 3, - 6)

を通る2本の接線。

(- 3, - 6)

自身が接点となる直線

y = 48 x + 138

と、点

(9/2, - 543/8)

で接する直線

y = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}

の2本が存在する。

$t = - 3$ が重解として現れるため、3次方程式の因数分解で計算ミスがないかその場で確認できる。

「点 $A$ における接線」ではなく「点 $A$ を通り $C$ に接する直線」なので、 $A (- 3, - 6)$ 以外の点で接する直線 $y = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}$ を落とさないこと。

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