独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全4問・無料

北海道大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　文系

北大文系 2025年度数学の解答・解説

北海道大学（北大文系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・文系入試の数学全4問（第1問：微分法、第2問：整数・図形と計量、第3問：数列、第4問：指数関数・論証）について、当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を大問ごとに掲載しています。

最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法

3次関数の極大値・極小値・曲線上の点を通る接線・3次方程式の因数分解当サイトの体感難易度：標準

(1)関数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30$ が極大値・極小値をとる $x$ と、その極大値・極小値を求める

答 $x = - 1$ で極大値 $38$ 、 $x = 5$ で極小値 $- 70$

$f^{'} (x)$ を因数分解して符号変化を調べ、増減表から極大・極小を特定する。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30$ を微分すると

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x - 15 = 3 (x + 1) (x - 5)

となる。 $f^{'} (x) = 0$ とすると $x = - 1, 5$ であり、 $f (x)$ は $x ≦ - 1$ で増加、 $- 1 ≦ x ≦ 5$ で減少、 $x ≧ 5$ で増加する。それぞれの値は

f (- 1) f (5) = (- 1)^{3} - 6 (- 1)^{2} - 15 (- 1) + 30 = - 1 - 6 + 15 + 30 = 38, = 5^{3} - 6 \cdot 5^{2} - 15 \cdot 5 + 30 = 125 - 150 - 75 + 30 = - 70

であるから、 $x = - 1$ で極大値 $38$ 、 $x = 5$ で極小値 $- 70$ をとる。

3次係数 $1 > 0$ だから、小さい方の解 $x = - 1$ で極大、大きい方の解 $x = 5$ で極小となる。

(2)曲線 $C : y = f (x)$ 上の点 $(- 3, - 6)$ を通り、 $C$ に接する直線の方程式をすべて求める

答 $y = 48 x + 138, y = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}$

「点 $(- 3, - 6)$ を通り $C$ に接する」とは、 $(- 3, - 6)$ 自身が接点である場合と、別の点 $(t, f (t))$ における接線が $(- 3, - 6)$ を通る場合の両方を含む。接点を $(t, f (t))$ とおいて立式する。

曲線 $C$ 上の接点を $(t, f (t))$ とおくと、接線の方程式は

y = (3 t^{2} - 12 t - 15) (x - t) + (t^{3} - 6 t^{2} - 15 t + 30) = (3 t^{2} - 12 t - 15) x - 2 t^{3} + 6 t^{2} + 30

である。この直線が点 $(- 3, - 6)$ を通るための必要十分条件は

- 6 = - 3 (3 t^{2} - 12 t - 15) - 2 t^{3} + 6 t^{2} + 30 ⟺ 2 t^{3} + 3 t^{2} - 36 t - 81 = 0

である。点 $(- 3, - 6)$ における接線は $t = - 3$ に対応するから、左辺は $(t + 3)^{2}$ を因数にもち、

(t + 3) (2 t^{2} - 3 t - 27) = (t + 3)^{2} (2 t - 9) = 0

より $t = - 3, \frac{9}{2}$ を得る。

$t = - 3$ のとき：傾きは $f^{'} (- 3) = 3 (- 2) (- 8) = 48$ だから、 $y = 48 (x + 3) - 6 = 48 x + 138$ 。
$t = \frac{9}{2}$ のとき：傾きは $f^{'} (\frac{9}{2}) = 3 \cdot \frac{11}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{33}{4}$ だから、 $y = - \frac{33}{4} (x + 3) - 6 = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}$ 。

以上より、求める直線の方程式は

y = 48 x + 138, y = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}

である。

3次曲線

C : y = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30

と、点

(- 3, - 6)

を通る2本の接線。

(- 3, - 6)

自身が接点となる直線

y = 48 x + 138

と、点

(9/2, - 543/8)

で接する直線

y = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}

の2本が存在する。

$t = - 3$ が重解として現れるため、3次方程式の因数分解で計算ミスがないかその場で確認できる。

「点 $A$ における接線」ではなく「点 $A$ を通り $C$ に接する直線」なので、 $A (- 3, - 6)$ 以外の点で接する直線 $y = - \frac{33}{4} x - \frac{123}{4}$ を落とさないこと。

第1問だけのページ

第2問　整数・図形と計量

三角形の成立条件・鋭角・直角三角形の判定・余弦定理当サイトの体感難易度：標準

(1) $2 ≦ a < b < c ≦ 6$ を満たす整数 $a, b, c$ のうち、 $a + b > c$ を満たす組 $(a, b, c)$ をすべて挙げる

答 $(a, b, c) = (2, 3, 4), (2, 4, 5), (2, 5, 6), (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)$

最小の整数 $a$ の値（ $a = 2, 3, 4$ ）で場合分けして、漏れなく小さい順に書き出す。

条件 $2 ≦ a < b < c ≦ 6$ より、 $a$ のとりうる値は $a = 2, 3, 4$ である。 $a$ の値で場合分けして $a + b > c$ （すなわち $c < a + b$ ）を満たす組を調べる。

$a = 2$ のとき： $c < b + 2$ かつ $b < c$ （ともに整数）より $c = b + 1$ となる。よって $(a, b, c) = (2, 3, 4), (2, 4, 5), (2, 5, 6)$ の3組。
$a = 3$ のとき： $b ≧ 4$ だから $a + b ≧ 7 > 6 ≧ c$ となり、 $3 < b < c ≦ 6$ を満たすすべての組が適する。よって $(a, b, c) = (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6)$ の3組。
$a = 4$ のとき： $4 < b < c ≦ 6$ より $(a, b, c) = (4, 5, 6)$ の1組のみであり、 $4 + 5 = 9 > 6$ を満たす。

以上より、求める組は

(a, b, c) = (2, 3, 4), (2, 4, 5), (2, 5, 6), (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)

の7組である。

全 $_{5} C_{3} = 10$ 組のうち、不適なものは $(2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 6)$ の3組だけで、 $10 - 3 = 7$ 組。

(2)不等式 $a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ を満たすような組 $(a, b, c)$ をすべて挙げる

答 $(a, b, c) = (3, 4, 5), (4, 5, 6)$

正の整数に対して $a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ ならば $(a + b)^{2} > a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ より $a + b > c$ が成り立つから、(1) の7組のなかで $a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ を満たすものを調べればよい。

$a, b, c$ は正であるから、 $a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ が成り立つとき

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} > a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}

より $a + b > c$ も成り立つ。したがって (1) で求めた7組について $a^{2} + b^{2}$ と $c^{2}$ を比較すればよい。

$(2, 3, 4)$ ： $2^{2} + 3^{2} = 13 < 16 = 4^{2}$ （不適）
$(2, 4, 5)$ ： $2^{2} + 4^{2} = 20 < 25 = 5^{2}$ （不適）
$(2, 5, 6)$ ： $2^{2} + 5^{2} = 29 < 36 = 6^{2}$ （不適）
$(3, 4, 5)$ ： $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2}$ （適する）
$(3, 4, 6)$ ： $3^{2} + 4^{2} = 25 < 36 = 6^{2}$ （不適）
$(3, 5, 6)$ ： $3^{2} + 5^{2} = 34 < 36 = 6^{2}$ （不適）
$(4, 5, 6)$ ： $4^{2} + 5^{2} = 41 > 36 = 6^{2}$ （適する）

よって求める組は

(a, b, c) = (3, 4, 5), (4, 5, 6)

の2組である。

等号 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を含むので、直角三角形となる $(3, 4, 5)$ も含まれる。

(3)(2) で求めた各 $(a, b, c)$ について、3辺の長さが $a, b, c$ の $△ ABC$ における $cos ∠ ACB$ を求める

答 $(a, b, c) = (3, 4, 5)$ のとき $cos ∠ ACB = 0$ 、 $(a, b, c) = (4, 5, 6)$ のとき $cos ∠ ACB = \frac{1}{8}$

$△ ABC$ に余弦定理 $cos ∠ ACB = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ を適用する。

$△ ABC$ において余弦定理より

cos ∠ ACB = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

である。(2) の2組をそれぞれ代入すると：

$(a, b, c) = (3, 4, 5)$ のとき： $cos ∠ ACB = \frac{9 + 16 - 25}{2 \cdot 3 \cdot 4} = 0$ 。
$(a, b, c) = (4, 5, 6)$ のとき： $cos ∠ ACB = \frac{16 + 25 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$ 。

どちらも $a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ を満たす組なので $cos ∠ ACB ≧ 0$ となっており整合する。

第2問だけのページ

第3問　数列

隣接3項間漸化式・階差数列・部分分数分解と和当サイトの体感難易度：標準

(1) $a_{1} = 1, a_{2} = 3, (n + 1) a_{n + 2} - (2 n + 3) a_{n + 1} + (n + 2) a_{n} = 0$ に対し、 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおくと $b_{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1} b_{n}$ が成り立つことを示す

答 $(n + 1) (a_{n + 2} - a_{n + 1}) - (n + 2) (a_{n + 1} - a_{n}) = 0$ と変形して両辺を $n + 1$ で割ることで示される

真ん中の係数 $2 n + 3 = (n + 1) + (n + 2)$ を分解して、階差 $a_{n + 2} - a_{n + 1}$ と $a_{n + 1} - a_{n}$ の形にまとめる。

与えられた漸化式において $2 n + 3 = (n + 1) + (n + 2)$ であるから、

(n + 1) (a_{n + 2} - a_{n + 1}) - (n + 2) (a_{n + 1} - a_{n}) = 0

と変形できる。 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ より $a_{n + 2} - a_{n + 1} = b_{n + 1}$ であるから

(n + 1) b_{n + 1} = (n + 2) b_{n}

$n ≧ 1$ より $n + 1 \neq = 0$ だから、両辺を $n + 1$ で割って

b_{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1} b_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

が成り立つ。 $■$

$n = 1$ のとき $2 a_{3} - 5 a_{2} + 3 a_{1} = 0$ より $a_{3} = 6$ 、 $b_{1} = 2, b_{2} = 3$ で $b_{2} = \frac{3}{2} b_{1}$ が成り立つ。

(2)数列 ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

(1) の漸化式の両辺を $n + 2$ で割る（または積を順に書き下す）ことで $b_{n}$ を求め、階差数列から $a_{n}$ を復元する。

(1) の式の両辺を $n + 2$ で割ると

\frac{b _{n + 1}}{n + 2} = \frac{b _{n}}{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

となり、数列 ${\frac{b _{n}}{n + 1}}$ は定数数列である。 $b_{1} = a_{2} - a_{1} = 3 - 1 = 2$ だから

\frac{b _{n}}{n + 1} = \frac{b _{1}}{2} = \frac{2}{2} = 1 ⟺ b_{n} = n + 1

を得る。よって $n ≧ 2$ のとき

a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 b_{k} = 1 + k = 1 \sum n - 1 (k + 1) = m = 1 \sum n m = \frac{n ( n + 1 )}{2}

である。これは $n = 1$ のときも $\frac{1 \cdot 2}{2} = 1 = a_{1}$ となって成り立つ。したがって

a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2} (n = 1, 2, 3, \dots)

である。

$n = 1, 2, 3$ で $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{3} = 6$ となり一致する。

(3) $n = 1 \sum 225 \frac{1}{a _{n}}$ の値を求める

答 $\frac{225}{113}$

$\frac{1}{a _{n}} = \frac{2}{n ( n + 1 )} = 2 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ と部分分数分解して中間の項を相殺する。

(2) より

\frac{1}{a _{n}} = \frac{2}{n ( n + 1 )} = 2 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})

であるから、求める和は

n = 1 \sum 225 \frac{1}{a _{n}} = 2 n = 1 \sum 225 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 2 {(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{225} - \frac{1}{226})} = 2 (1 - \frac{1}{226}) = 2 \cdot \frac{225}{226} = \frac{225}{113}

である。

上限を $N = 1$ に変えると $\frac{1}{1} = 1$ 、式も $2 (1 - \frac{1}{2}) = 1$ で一致する。

第3問だけのページ

第4問　指数関数・論証

関数方程式・実数の2乗と正値性・有理数での値の決定当サイトの体感難易度：標準

(1)すべての実数 $x$ と整数 $n$ で $f (n x) = {f (x)}^{n}$ かつ $f (1) = 2$ を満たす関数 $f (x)$ について、 $f (n) ≦ 100$ となる最大の整数 $n$ を求める

答 $n = 6$

条件式に $x = 1$ を代入して $f (n) = 2^{n}$ を導く。

条件式 $f (n x) = {f (x)}^{n}$ において $x = 1$ とすると、すべての整数 $n$ について

f (n) = {f (1)}^{n} = 2^{n}

が成り立つ。 $2^{n}$ は $n$ に関して単調に増加し、

2^{6} = 64 ≦ 100 < 128 = 2^{7}

であるから、 $f (n) ≦ 100$ を満たす最大の整数 $n$ は $n = 6$ である。

$n ≦ 0$ では $2^{n} ≦ 1 ≦ 100$ であり、最大値は正の整数 $n = 6$ で達成される。

(2)すべての実数 $x$ について $f (x) > 0$ であることを証明する（ただし $f (x)$ のとりうる値は $0$ でない実数）

答 $f (x) = f (2 \cdot \frac{x}{2}) = {f (\frac{x}{2})}^{2}$ かつ $f (x /2) \neq = 0$ より $f (x) > 0$

$x = 2 \cdot \frac{x}{2}$ とみて $n = 2$ のときの関係式を使うと、 $f (x)$ が $0$ でない実数の2乗として表される。

任意の実数 $x$ に対し、条件式において実数を $\frac{x}{2}$ 、整数を $n = 2$ とすると

f (x) = f (2 \cdot \frac{x}{2}) = {f (\frac{x}{2})}^{2}

が成り立つ。仮定より $f (\frac{x}{2})$ は $0$ でない実数であるから、その2乗は正である。したがって、すべての実数 $x$ について $f (x) > 0$ である。 $■$

「 $f (x)$ のとりうる値は $0$ でない実数」という問題文の断り書きが、まさにこのステップで $f (x /2)^{2} > 0$ を保証するために使われる。

(3) $f (0.25)$ を求める

答 $2^{\frac{1}{4}}$ （または $42$ ）

$0.25 = \frac{1}{4}$ に対し $n = 4$ として ${f (0.25)}^{4} = f (1) = 2$ を作り、(2) の $f (0.25) > 0$ から正の4乗根をとる。

条件式において $x = 0.25 = \frac{1}{4}, n = 4$ とすると

{f (0.25)}^{4} = f (4 \cdot 0.25) = f (1) = 2

となる。(2) より $f (0.25) > 0$ であるから

f (0.25) = 2^{\frac{1}{4}} (= 42)

である。

この誘導がそのまま (4) の一般の有理数 $a = p / q$ での議論のひな形になっている。

$t^{4} = 2$ の実数解は $t = \pm 2^{\frac{1}{4}}$ の2つあるため、「(2) より $f (0.25) > 0$ だから」と符号の根拠を必ず明記する。

(4) $a$ が有理数のとき、 $f (a)$ を $a$ で表す

答 $f (a) = 2^{a}$

有理数 $a$ を整数 $p$ と正の整数 $q$ で $a = \frac{p}{q}$ とおき、 ${f (a)}^{q} = f (q a) = f (p) = 2^{p}$ から $f (a) > 0$ を用いて $q$ 乗根をとる。

$a$ は有理数であるから、整数 $p$ と正の整数 $q$ を用いて $a = \frac{p}{q}$ と表せる。このとき $q a = p$ であるから、条件式より

{f (a)}^{q} = f (q a) = f (p)

が成り立つ。一方、(1) と同様に $x = 1, n = p$ （ $p$ は整数）とすると $f (p) = {f (1)}^{p} = 2^{p}$ であるから

{f (a)}^{q} = 2^{p}

を得る。(2) より $f (a) > 0$ であり、 $q$ は正の整数だから、両辺の正の $q$ 乗根をとって

f (a) = (2^{p})^{\frac{1}{q}} = 2^{\frac{p}{q}} = 2^{a}

である。

$a = 0.25$ のとき $2^{0.25} = 2^{\frac{1}{4}}$ となり (3) と一致する。また $a ≦ 0$ の有理数でも $p \in Z, q \in N$ ととることで一括して示せている。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

本番形式の予想問題集（採点基準・別解つき）

合格答案をつくる北大文系数学 2027

北大文系数学の出題傾向と頻出分野を分析して書き下ろした予想問題集です（過去問の転載ではありません）。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る公式書店で見る無料サンプルPDF（4ページ）収録内容を見る

¥2,695・100ページ・2026年8月16日発売

『合格答案をつくる北大文系数学 2027』の中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。印刷して解きたい方はPDF版をご利用ください。

無料サンプルPDF（4ページ）を開く公式書店で詳細を見る

北大文系数学の関連メニュー

北大文系数学の傾向と対策（総合案内ページ）— 年度別・分野別の出題分析、目標点、段階別対策を1ページで確認できます。
北大文系数学の過去問解説一覧— 他の年度の解答・解説をまとめて読む。
数学記述模試『入試プレビュー』（PDF即ダウンロード）— 問題・解答解説・採点基準つきPDFをその場で入手して実戦演習できます。

問題文について

(1)関数 f(x)=x3−6x2−15x+30 が極大値・極小値をとる x と、その極大値・極小値を求める

(2)曲線 C:y=f(x) 上の点 (−3,−6) を通り、C に接する直線の方程式をすべて求める

(1)2≦a<b<c≦6 を満たす整数 a,b,c のうち、a+b>c を満たす組 (a,b,c) をすべて挙げる

(2)不等式 a2+b2≧c2 を満たすような組 (a,b,c) をすべて挙げる

(3)(2) で求めた各 (a,b,c) について、3辺の長さが a,b,c の △ABC における cos∠ACB を求める

(1)a1​=1, a2​=3, (n+1)an+2​−(2n+3)an+1​+(n+2)an​=0 に対し、bn​=an+1​−an​ とおくと bn+1​=n+1n+2​bn​ が成り立つことを示す

(2)数列 {an​} の一般項を求める

(3)n=1∑225​an​1​ の値を求める

(1)すべての実数 x と整数 n で f(nx)={f(x)}n かつ f(1)=2 を満たす関数 f(x) について、f(n)≦100 となる最大の整数 n を求める

(2)すべての実数 x について f(x)>0 であることを証明する（ただし f(x) のとりうる値は 0 でない実数）

(3)f(0.25) を求める

(4)a が有理数のとき、f(a) を a で表す

同じ形式の問題を、5回分

『合格答案をつくる 北大文系数学 2027』の中身を試し読みする

北大文系数学の関連メニュー

(1)関数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30$ が極大値・極小値をとる $x$ と、その極大値・極小値を求める

(2)曲線 $C : y = f (x)$ 上の点 $(- 3, - 6)$ を通り、 $C$ に接する直線の方程式をすべて求める

(1) $2 ≦ a < b < c ≦ 6$ を満たす整数 $a, b, c$ のうち、 $a + b > c$ を満たす組 $(a, b, c)$ をすべて挙げる

(2)不等式 $a^{2} + b^{2} ≧ c^{2}$ を満たすような組 $(a, b, c)$ をすべて挙げる

(3)(2) で求めた各 $(a, b, c)$ について、3辺の長さが $a, b, c$ の $△ ABC$ における $cos ∠ ACB$ を求める

(1) $a_{1} = 1, a_{2} = 3, (n + 1) a_{n + 2} - (2 n + 3) a_{n + 1} + (n + 2) a_{n} = 0$ に対し、 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおくと $b_{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1} b_{n}$ が成り立つことを示す

(2)数列 ${a_{n}}$ の一般項を求める

(3) $n = 1 \sum 225 \frac{1}{a _{n}}$ の値を求める

(1)すべての実数 $x$ と整数 $n$ で $f (n x) = {f (x)}^{n}$ かつ $f (1) = 2$ を満たす関数 $f (x)$ について、 $f (n) ≦ 100$ となる最大の整数 $n$ を求める

(2)すべての実数 $x$ について $f (x) > 0$ であることを証明する（ただし $f (x)$ のとりうる値は $0$ でない実数）

(3) $f (0.25)$ を求める

(4) $a$ が有理数のとき、 $f (a)$ を $a$ で表す

『合格答案をつくる北大文系数学 2027』の中身を試し読みする