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北海道大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　文系

北大文系 2025年度数学第4問（指数関数・論証）の解答・解説

北海道大学（北大文系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・文系入試の数学第4問（分野：指数関数・論証）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「関数方程式・実数の2乗と正値性・有理数での値の決定」を扱います。

出題テーマ：関数方程式・実数の2乗と正値性・有理数での値の決定当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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北大文系 2025年度数学第4問の設問構成・解答方針（全4問）

(1)の解答・解説へ
すべての実数 $x$ と整数 $n$ で $f (n x) = {f (x)}^{n}$ かつ $f (1) = 2$ を満たす関数 $f (x)$ について、 $f (n) ≦ 100$ となる最大の整数 $n$ を求める
(2)の解答・解説へ
すべての実数 $x$ について $f (x) > 0$ であることを証明する（ただし $f (x)$ のとりうる値は $0$ でない実数）
(3)の解答・解説へ
$f (0.25)$ を求める
(4)の解答・解説へ
$a$ が有理数のとき、 $f (a)$ を $a$ で表す

(1)すべての実数 $x$ と整数 $n$ で $f (n x) = {f (x)}^{n}$ かつ $f (1) = 2$ を満たす関数 $f (x)$ について、 $f (n) ≦ 100$ となる最大の整数 $n$ を求める

答 $n = 6$

条件式に $x = 1$ を代入して $f (n) = 2^{n}$ を導く。

条件式 $f (n x) = {f (x)}^{n}$ において $x = 1$ とすると、すべての整数 $n$ について

f (n) = {f (1)}^{n} = 2^{n}

が成り立つ。 $2^{n}$ は $n$ に関して単調に増加し、

2^{6} = 64 ≦ 100 < 128 = 2^{7}

であるから、 $f (n) ≦ 100$ を満たす最大の整数 $n$ は $n = 6$ である。

$n ≦ 0$ では $2^{n} ≦ 1 ≦ 100$ であり、最大値は正の整数 $n = 6$ で達成される。

(2)すべての実数 $x$ について $f (x) > 0$ であることを証明する（ただし $f (x)$ のとりうる値は $0$ でない実数）

答 $f (x) = f (2 \cdot \frac{x}{2}) = {f (\frac{x}{2})}^{2}$ かつ $f (x /2) \neq = 0$ より $f (x) > 0$

$x = 2 \cdot \frac{x}{2}$ とみて $n = 2$ のときの関係式を使うと、 $f (x)$ が $0$ でない実数の2乗として表される。

任意の実数 $x$ に対し、条件式において実数を $\frac{x}{2}$ 、整数を $n = 2$ とすると

f (x) = f (2 \cdot \frac{x}{2}) = {f (\frac{x}{2})}^{2}

が成り立つ。仮定より $f (\frac{x}{2})$ は $0$ でない実数であるから、その2乗は正である。したがって、すべての実数 $x$ について $f (x) > 0$ である。 $■$

「 $f (x)$ のとりうる値は $0$ でない実数」という問題文の断り書きが、まさにこのステップで $f (x /2)^{2} > 0$ を保証するために使われる。

(3) $f (0.25)$ を求める

答 $2^{\frac{1}{4}}$ （または $42$ ）

$0.25 = \frac{1}{4}$ に対し $n = 4$ として ${f (0.25)}^{4} = f (1) = 2$ を作り、(2) の $f (0.25) > 0$ から正の4乗根をとる。

条件式において $x = 0.25 = \frac{1}{4}, n = 4$ とすると

{f (0.25)}^{4} = f (4 \cdot 0.25) = f (1) = 2

となる。(2) より $f (0.25) > 0$ であるから

f (0.25) = 2^{\frac{1}{4}} (= 42)

である。

この誘導がそのまま (4) の一般の有理数 $a = p / q$ での議論のひな形になっている。

$t^{4} = 2$ の実数解は $t = \pm 2^{\frac{1}{4}}$ の2つあるため、「(2) より $f (0.25) > 0$ だから」と符号の根拠を必ず明記する。

(4) $a$ が有理数のとき、 $f (a)$ を $a$ で表す

答 $f (a) = 2^{a}$

有理数 $a$ を整数 $p$ と正の整数 $q$ で $a = \frac{p}{q}$ とおき、 ${f (a)}^{q} = f (q a) = f (p) = 2^{p}$ から $f (a) > 0$ を用いて $q$ 乗根をとる。

$a$ は有理数であるから、整数 $p$ と正の整数 $q$ を用いて $a = \frac{p}{q}$ と表せる。このとき $q a = p$ であるから、条件式より

{f (a)}^{q} = f (q a) = f (p)

が成り立つ。一方、(1) と同様に $x = 1, n = p$ （ $p$ は整数）とすると $f (p) = {f (1)}^{p} = 2^{p}$ であるから

{f (a)}^{q} = 2^{p}

を得る。(2) より $f (a) > 0$ であり、 $q$ は正の整数だから、両辺の正の $q$ 乗根をとって

f (a) = (2^{p})^{\frac{1}{q}} = 2^{\frac{p}{q}} = 2^{a}

である。

$a = 0.25$ のとき $2^{0.25} = 2^{\frac{1}{4}}$ となり (3) と一致する。また $a ≦ 0$ の有理数でも $p \in Z, q \in N$ ととることで一括して示せている。

2025年度の全4問をまとめて読む

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問題文について

(1)すべての実数 x と整数 n で f(nx)={f(x)}n かつ f(1)=2 を満たす関数 f(x) について、f(n)≦100 となる最大の整数 n を求める

(2)すべての実数 x について f(x)>0 であることを証明する（ただし f(x) のとりうる値は 0 でない実数）

(3)f(0.25) を求める

(4)a が有理数のとき、f(a) を a で表す