第4問指数・対数の解答・解説

n進法・桁数・常用対数・不等式の評価当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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八進法・九進法・十進法で表したときの桁数がすべて同じになる自然数のうち最大のものを求める

答 $2^{30} - 1 = 1073741823$

$b$ 進法で $d$ 桁というのは $b^{d - 1} \leq N < b^{d}$ ということである。3つの条件を重ねると、下からは一番大きい $1 0^{d - 1}$ 、上からは一番小さい $8^{d}$ が効く。だから「 $1 0^{d - 1} < 8^{d}$ となる $d$ はどこまでか」を常用対数で押さえれば、あとは上限 $8^{d} - 1$ をとるだけでよい。

自然数 $N$ が $b$ 進法で $d$ 桁であることは $b^{d - 1} \leq N < b^{d}$ と同値である。八進法・九進法・十進法でともに $d$ 桁なら

max (8^{d - 1}, 9^{d - 1}, 1 0^{d - 1}) \leq N < min (8^{d}, 9^{d}, 1 0^{d})

すなわち

1 0^{d - 1} \leq N < 8^{d}

である。したがって、そのような $N$ が存在するのは $1 0^{d - 1} < 8^{d}$ のときに限る。

$d$ の上限。 $8^{d} = 2^{3 d}$ なので、常用対数をとると条件は

d - 1 < 3 d lo g_{10} 2

である。 $lo g_{10} 2 < 0.3011$ より

3 d lo g_{10} 2 < 0.9033 d

なので、 $d - 1 \geq 0.9033 d$ であれば条件は成り立たない。これは $0.0967 d \geq 1$ 、つまり $d \geq 10.34 \dots$ のときだから、 $d \geq 11$ では $N$ は存在しない。

$d = 11$ を直接見てもよい。 $lo g_{10} 8^{11} = 33 lo g_{10} 2 < 33 \times 0.3011 = 9.9363 < 10$ なので $8^{11} < 1 0^{10}$ であり、 $1 0^{10} \leq N < 8^{11}$ をみたす $N$ はない。

$d = 10$ では存在する。 $lo g_{10} 8^{10} = 30 lo g_{10} 2 > 30 \times 0.3010 = 9.03 > 9$ なので $8^{10} > 1 0^{9}$ であり、

1 0^{9} \leq N < 8^{10} = 2^{30} = 1073741824

をみたす $N$ がある。このうち最大のものは $N = 2^{30} - 1$ である。 $d$ が大きいほど $N$ も大きいので、これが全体の最大である。よって

N = 2^{30} - 1 = 1073741823

が答えである。

この道筋では $lo g_{10} 3$ は使わない。九進法の条件（ $9^{9} \leq N < 9^{10}$ ）は、 $9^{9} = 387420489 < 1 0^{9}$ と $9^{10} = 3486784401 > 2^{30}$ から自動的にみたされるからである。

$1 0^{9}$ から $2^{30}$ までのすべての自然数について3つの桁数を直接数えると、すべて等しくなる最大の数は $1073741823$ だった。これは $2^{30} - 1$ である。 $8^{9} = 134217728$ 、 $9^{9} = 387420489$ 、 $1 0^{9} = 1000000000$ はすべて $N$ 以下、 $8^{10} = 1073741824$ 、 $9^{10} = 3486784401$ 、 $1 0^{10}$ はすべて $N$ より大きい。

「桁数が同じ」という条件は、下限は底が大きいほうが、上限は底が小さいほうが効く。 $8$ と $10$ だけが効いて $9$ は効かない、という構造を押さえる。

$d \geq 11$ を消すときは、与えられた $lo g_{10} 2 < 0.3011$ （上からの評価）を使う。下からの評価 $0.3010 < lo g_{10} 2$ は $d = 10$ の存在を言うのに使う。どちらを使うかを取り違えない。

最大値は $8^{10} - 1$ であって $8^{10}$ ではない。 $N < 8^{10}$ は等号を含まない。

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