第3問 2次関数の解答・解説

絶対値のはずし方・最大値・場合分け・放物線の頂点当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$a > 0$ のとき $f (x) = x^{2} - (a x + \frac{3}{4} a^{2}) + a x + \frac{3}{4} a^{2}$ の $- 1 \leq x \leq 1$ での最大値を求める

答 $0 < a < \frac{10}{5}$ のとき $1$ 、 $\frac{10}{5} \leq a \leq 1$ のとき $\frac{5}{2} a^{2}$ 、 $a > 1$ のとき $\frac{3}{2} a^{2} + 2 a - 1$

$∣ A ∣ + B$ の形は $∣ A ∣ + B = max (A + B, B - A)$ と書ける。ここで $A + B = x^{2}$ 、 $B - A = 2 (a x + \frac{3}{4} a^{2}) - x^{2}$ なので、 $f$ は2つの放物線の上側をとった関数になる。最大値は「2つの放物線それぞれの最大値のうち大きいほう」なので、場合分けが一気に軽くなる。

$g (x) = a x + \frac{3}{4} a^{2}$ とおく。実数 $A$ について $∣ A ∣ = max (A, - A)$ だから

f (x) = x^{2} - g (x) + g (x) = max (x^{2}, 2 g (x) - x^{2})

である。ここで

h (x) = 2 g (x) - x^{2} = - x^{2} + 2 a x + \frac{3}{2} a^{2} = - (x - a)^{2} + \frac{5}{2} a^{2}

とおく。 $f = max (x^{2}, h (x))$ なので、 $- 1 \leq x \leq 1$ での最大値は

- 1 \leq x \leq 1 max f = max (- 1 \leq x \leq 1 max x^{2}, - 1 \leq x \leq 1 max h (x))

である。

それぞれの最大値。 $x^{2}$ は $x = \pm 1$ で最大値 $1$ をとる。 $h$ は上に凸で頂点が $x = a$ だから

$0 < a \leq 1$ ：頂点が区間の中にあるので $max h = \frac{5}{2} a^{2}$ （ $x = a$ ）。
$a > 1$ ：区間 $[- 1, 1]$ では $h$ は増加なので $max h = h (1) = \frac{3}{2} a^{2} + 2 a - 1$ 。

比べる。

$0 < a \leq 1$ ： $\frac{5}{2} a^{2} \geq 1 ⟺ a^{2} \geq \frac{2}{5} ⟺ a \geq \frac{2}{5} = \frac{10}{5}$ 。 $\frac{10}{5} = 0.632 \dots < 1$ なので、 $0 < a < \frac{10}{5}$ では最大値 $1$ 、 $\frac{10}{5} \leq a \leq 1$ では最大値 $\frac{5}{2} a^{2}$ 。
$a > 1$ ： $\frac{3}{2} a^{2} + 2 a - 1 - 1 = \frac{3}{2} a^{2} + 2 a - 2 > \frac{3}{2} + 2 - 2 > 0$ なので、最大値は $\frac{3}{2} a^{2} + 2 a - 1$ 。

まとめると

max f = ⎩ ⎨ ⎧ 1 \frac{5}{2} a^{2} \frac{3}{2} a^{2} + 2 a - 1 (0 < a < \frac{10}{5}) (\frac{10}{5} \leq a \leq 1) (a > 1)

である。

a = 0.8

のときの

y = x^{2}

と

y = h (x) = - (x - a)^{2} + \frac{5}{2} a^{2}

。

f

はこの2つの上側をなぞった関数で、最大値は

h

の頂点の値

\frac{5}{2} a^{2} = 1.6

（

x = a = 0.8

）。

$- 1 \leq x \leq 1$ を $40$ 万等分して $f$ の最大値を直接求めると、 $a = 0.3, 0.6$ で $1.000000000$ 、 $a = 0.8$ で $1.600000000$ （ $\frac{5}{2} a^{2} = 1.6$ ）、 $a = 1$ で $2.500000000$ 、 $a = 1.5$ で $5.375000000$ （ $\frac{3}{2} \cdot 2.25 + 3 - 1 = 5.375$ ）、 $a = 2.5$ で $13.375000000$ となり、すべて式の値と一致する。

$∣ A ∣ + B = max (A + B, B - A)$ の言いかえが要点である。 $x^{2} - g (x)$ の符号で場合分けして区間を細かく切ると、場合分けが倍に増えて見通しが悪くなる。

$h$ の頂点は $x = a$ である。 $a > 1$ では頂点が区間の外に出るので、端 $x = 1$ の値に切り替わる。

境目 $a = \frac{10}{5}$ と $a = 1$ の両方で値が連続している（ $1$ と $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} = 1$ 、 $\frac{5}{2} = \frac{3}{2} + 2 - 1$ ）。等号をどちらに付けても答えは同じだが、連続性の確認は検算になる。