第2問確率の解答・解説

立方体の塗り分け・対面・順列・場合分け当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $p_{3}$ を求める

答 $p_{3} = \frac{2}{243}$

立方体では「辺を共有する」と「向かい合っていない」が同じことである。だから条件は「向かい合う3組のあいだで色が重ならない」こと、つまり3組の使う色の集合が互いに素であることになる。色が $3$ 個しかないなら、各組が1色ずつを使い切るしかない。

立方体の面は、向かい合う2面どうしは辺を共有せず、それ以外の2面はかならず辺を共有する。向かい合う3組を $P, Q, R$ とすると、条件は

異なる組に属する 2 面は、つねに違う色

ということである。言いかえると、3組がそれぞれ使う色の集合は互いに共通部分をもたない。同じ組の2面は、同じ色でも違う色でもよい。

$n = 3$ のとき。 3組はそれぞれ少なくとも1色を使い、しかも互いに素だから、使う色の総数は $3$ 以上である。色は $3$ 個しかないので、どの組もちょうど1色、しかも3組で3色を使い切る。

したがって、3組に3色を割り当てる方法は $3! = 6$ 通りで、各組の2面は同じ色だから、面の塗り方としても $6$ 通りである。全体は $3^{6} = 729$ 通りなので

p_{3} = \frac{6}{729} = \frac{2}{243}

である。

「辺を共有する2面」は各面に $4$ つあり、共有しないのは向かいの $1$ 面だけである。この言いかえができれば、以降は組どうしの色の重なりだけを見ればよくなる。

$3^{6} = 729$ 通りをすべて列挙して条件をみたすものを数えると、ちょうど $6$ 通りだった。 $\frac{6}{729} = \frac{2}{243} = 0.00823$ である。

立方体の回転で移り合う塗り方を同じと数えない。問題は「各面にどの色を塗るか」が同様に確からしいとしているので、面には区別がある。

同じ組の2面は辺を共有しないので、同じ色でもよい。 $n = 3$ では結果的に同じ色になるが、理由は「色が足りないから」である。

(2) $p_{4}$ を求める

答 $p_{4} = \frac{3}{128}$

(1) と同じく、3組の色の集合が互いに素であればよい。各組が使う色の個数は $1$ か $2$ で、その合計が $4$ 以下でなければならない。合計 $3$ と合計 $4$ の2通りを数える。

3組が使う色の個数を $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ （それぞれ $1$ か $2$ ）とすると、互いに素だから $k_{1} + k_{2} + k_{3} \leq 4$ である。 $n = 4$ では

$(k_{1}, k_{2}, k_{3}) = (1, 1, 1)$ ：3組それぞれが1色で、3色は相異なる。 $4$ 色から順に選んで $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ 通り。
$(2, 1, 1)$ とその並べ替え：2色を使う組の選び方が $3$ 通り。その組の2面には相異なる2色を順番込みで塗るので $4 \cdot 3 = 12$ 通り。残り2組には、残った $2$ 色を1つずつ割り当てて $2 \cdot 1 = 2$ 通り。合わせて $3 \cdot 12 \cdot 2 = 72$ 通り。

$k_{1} + k_{2} + k_{3} = 5$ 以上は色が足りないので起こらない。よって条件をみたす塗り方は

24 + 72 = 96

通りで、全体は $4^{6} = 4096$ 通りだから

p_{4} = \frac{96}{4096} = \frac{3}{128}

である。

一般には、 $k_{1} + k_{2} + k_{3} = K$ となる組が $K = 3, 4, 5, 6$ でそれぞれ $1, 3, 3, 1$ 通りあり、色の割り当ては $_{n} P_{K}$ 通りなので

n^{6} p_{n} =_{n} P_{3} + 3_{n} P_{4} + 3_{n} P_{5} +_{n} P_{6}

となる。 $n = 3$ で $6$ 、 $n = 4$ で $24 + 72 = 96$ と、上の計算に一致する。

$4^{6} = 4096$ 通りをすべて列挙すると、条件をみたすのはちょうど $96$ 通りだった。 $n = 5, 6$ でも全探索の結果 $780, 4080$ 通りで、 $_{n} P_{3} + 3_{n} P_{4} + 3_{n} P_{5} +_{n} P_{6}$ の値と一致する。