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京都大学　2024年度　前期日程　文系

第1問空間図形の解答・解説

余弦定理・二等辺三角形・座標の設定・四面体の体積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$OA = OB = OC = 1$ 、 $∠ COA = ∠ COB = ∠ ACB$ 、 $∠ AOB = 9 0^{\circ}$ をみたす四面体 $OABC$ の体積を求める

答 $\frac{2 2 - 2}{6}$

等しい3つの角を $θ$ とおくと、 $△ OCA$ と $△ OCB$ は合同な二等辺三角形なので $AC = BC$ がすぐ出る。 $△ ACB$ でも余弦定理を使うと、 $AC$ を消去して $cos θ$ の方程式が1本できる。 $θ$ が決まれば、 $OA ⊥ OB$ を活かして座標を置くのがいちばん早い。

$θ = ∠ COA = ∠ COB = ∠ ACB$ とおく（ $0 < θ < π$ ）。

$AC = BC$ 。 $△ OCA$ で $OA = OC = 1$ 、 $∠ COA = θ$ だから余弦定理より

AC^{2} = 1 + 1 - 2 cos θ = 2 (1 - cos θ)

である。 $△ OCB$ も同じ条件なので $BC^{2} = 2 (1 - cos θ)$ 、つまり $AC = BC$ である。これを $c$ とおく。

$θ$ を決める。 $∠ AOB = 9 0^{\circ}$ 、 $OA = OB = 1$ より $AB = 2$ である。 $△ ACB$ で余弦定理を使うと

AB^{2} = c^{2} + c^{2} - 2 c^{2} cos θ ⟹ 2 = 2 c^{2} (1 - cos θ)

である。 $c^{2} = 2 (1 - cos θ)$ を入れると

2 \cdot 2 (1 - cos θ) \cdot (1 - cos θ) = 2 ⟺ (1 - cos θ)^{2} = \frac{1}{2}

となる。 $1 - cos θ > 0$ なので $1 - cos θ = \frac{1}{2}$ 、すなわち

cos θ = 1 - \frac{2}{2}

である（ $0.2929$ 、 $θ = 72.9 7^{\circ}$ ほど）。

座標を置く。 $OA ⊥ OB$ なので

O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0, 1, 0)

ととれる。 $C (x, y, z)$ は $OC \cdot OA = cos θ$ より $x = cos θ$ 、同様に $y = cos θ$ で、 $OC = 1$ より

z^{2} = 1 - 2 cos^{2} θ = 1 - 2 (1 - \frac{2}{2})^{2} = 1 - 2 (\frac{3}{2} - 2) = 22 - 2

である（ $22 - 2 = 0.828 > 0$ ）。 $z > 0$ ととってよい。

体積。 底面 $△ OAB$ は $x y$ 平面上の直角二等辺三角形で面積 $\frac{1}{2}$ 、高さは $C$ の $z$ 座標そのものだから

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot z = \frac{2 2 - 2}{6}

である（ $0.1517$ ほど）。

真上（

z

軸方向）から見た図。

C

の影

H

は

(cos θ, cos θ)

で、

∠ AOB = 9 0^{\circ}

の二等分線の上にある。

C

の高さが

z = 22 - 2 = 0.910

。

$cos θ = 1 - \frac{2}{2} = 0.292893$ として $A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, 1, 0)$ 、 $C (0.292893, 0.292893, 0.910180)$ をとると、 $OA = OB = OC = 1$ 、 $∠ AOB = 90.000 0^{\circ}$ 、 $∠ COA = ∠ COB = ∠ ACB = 72.968 8^{\circ}$ となり条件をすべてみたす。体積は $\frac{0.910180}{6} = 0.151697$ である。

$∠ ACB$ は四面体の面 $ACB$ の中の角で、 $O$ とは関係しない。 $△ ACB$ を取り出して余弦定理を使う。

$(1 - cos θ)^{2} = \frac{1}{2}$ から $1 - cos θ = \pm \frac{1}{2}$ の2つが出るが、 $cos θ < 1$ より $1 - cos θ > 0$ なので正のほうだけが残る。

$z^{2} = 1 - 2 cos^{2} θ$ が正であることを確かめておく。 $cos θ$ が大きすぎると $C$ が平面 $OAB$ 上に乗ってしまい、四面体にならない。

$22 - 2$ は二重根号だが、 $22 - 2 = 2 (2 - 1)$ の形では外せない。無理に外そうとしない。

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OA=OB=OC=1、∠COA=∠COB=∠ACB、∠AOB=90∘ をみたす四面体 OABC の体積を求める

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