独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問1問・無料

京都大学　2024年度　前期日程　文系

第5問図形と方程式の解答・解説

解の配置・領域の面積・判別式・積分当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

$C$ （ $y = x^{2} - 4 x + 5$ の $x > 1$ の部分）と直線 $y = a x + b$ が異なる2つの共有点をもつような正の実数 $a, b$ の動く領域の面積を求める

答 $\frac{50 - 20 5}{3}$

連立して得られる2次方程式が「異なる2つの解をもち、どちらも $1$ より大きい」という解の配置の問題になる。下に凸の2次関数では、判別式・軸の位置・ $x = 1$ での値の3つを見ればよい。軸の条件は $a > 0$ から自動でみたされるので、残る2本が $(a, b)$ 平面の境界を与える。

$x^{2} - 4 x + 5 = a x + b$ を整理すると

φ (x) = x^{2} - (4 + a) x + (5 - b) = 0

である。 $C$ は $x > 1$ の部分なので、条件は「 $φ (x) = 0$ が異なる2つの実数解をもち、どちらも $1$ より大きい」ことである。 $φ$ は下に凸だから、これは次の3つと同値である。

判別式： $(4 + a)^{2} - 4 (5 - b) > 0$ 、すなわち $(a + 4)^{2} + 4 b > 20$ 。
軸： $\frac{4 + a}{2} > 1$ 、すなわち $a > - 2$ 。 $a > 0$ なのでつねに成り立つ。
$x = 1$ での値： $φ (1) = 1 - (4 + a) + (5 - b) = 2 - a - b > 0$ 、すなわち $a + b < 2$ 。

よって求める領域 $D$ は

D : a > 0, b > 0, a + b < 2, b > 5 - \frac{( a + 4 ) ^{2}}{4}

である。

境界の形。 $L (a) = 5 - \frac{( a + 4 ) ^{2}}{4}$ は上に凸の放物線で、 $L (0) = 1$ 、 $L (a) = 0$ となるのは $(a + 4)^{2} = 20$ 、つまり

a = 25 - 4 = 0.4721 \dots

のときである。これを $α$ とおく。また $L (a) < 2 - a$ はつねに成り立つ。実際

(2 - a) - L (a) = \frac{( a + 4 ) ^{2}}{4} - a - 3 = \frac{a ^{2} + 4 a + 4}{4} = \frac{( a + 2 ) ^{2}}{4} > 0

である。したがって $D$ は「 $0 < a < α$ では $L (a) < b < 2 - a$ 」「 $α \leq a < 2$ では $0 < b < 2 - a$ 」という形になる。

面積。

\int_{0}^{α} {(2 - a) - L (a)} d a = \int_{0}^{α} \frac{( a + 2 ) ^{2}}{4} d a = [\frac{( a + 2 ) ^{3}}{12}]_{0}^{α}

で、 $α + 2 = 25 - 2 = 2 (5 - 1)$ 、 $(5 - 1)^{3} = 85 - 16$ だから $(α + 2)^{3} = 8 (85 - 16) = 645 - 128$ である。よって

\int_{0}^{α} \frac{( a + 2 ) ^{2}}{4} d a = \frac{64 5 - 128 - 8}{12} = \frac{16 5 - 34}{3}

である。残りは

\int_{α}^{2} (2 - a) d a = \frac{( 2 - α ) ^{2}}{2} = \frac{( 6 - 2 5 ) ^{2}}{2} = \frac{56 - 24 5}{2} = 28 - 125

である。合わせて

\frac{16 5 - 34}{3} + 28 - 125 = \frac{16 5 - 34 + 84 - 36 5}{3} = \frac{50 - 20 5}{3}

が求める面積である（ $1.7595$ ほど）。

領域

D

。横軸が

a

、縦軸が

b

。上の境界は直線

b = 2 - a

、下の境界は

0 < a < 25 - 4

では放物線

b = 5 - \frac{( a + 4 ) ^{2}}{4}

、それ以降は

a

軸。面積は

\frac{50 - 20 5}{3} = 1.760

。

$0 < a < 2.2$ 、 $0 < b < 2.2$ に $400$ 万点とり、 $x^{2} - (4 + a) x + (5 - b) = 0$ の解を実際に求めて「異なる2解がともに $1$ より大きい」を判定すると、面積は $1.75943$ になる。 $\frac{50 - 20 5}{3} = 1.75955$ と一致する。判定と不等式「 $a + b < 2$ かつ $(a + 4)^{2} + 4 b > 20$ 」も $30$ 万点で完全に一致した。

$C$ は $x > 1$ の部分なので、2つの解がともに $1$ より大きいことが条件である。 $x = 1$ を含めると条件が変わる。

軸の条件 $\frac{4 + a}{2} > 1$ は $a > 0$ から自動的にみたされる。「自動でみたされる」ことを一言書いておくと、条件を落としていないことが示せる。

$(2 - a) - L (a) = \frac{( a + 2 ) ^{2}}{4}$ ときれいな形になる。ここが整理できると積分が一瞬で終わる。

$a \geq 2$ では $2 - a \leq 0$ なので $b > 0$ と両立しない。積分区間の右端が $2$ になる理由である。

2024年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる京大文系数学 2027

京大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・106ページ・2026年8月9日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

C（y=x2−4x+5 の x>1 の部分）と直線 y=ax+b が異なる2つの共有点をもつような正の実数 a,b の動く領域の面積を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

$C$ （ $y = x^{2} - 4 x + 5$ の $x > 1$ の部分）と直線 $y = a x + b$ が異なる2つの共有点をもつような正の実数 $a, b$ の動く領域の面積を求める