第2問 平面ベクトル・整数の解答・解説

$\mathrm{OA}=2n+1$、$\mathrm{OB}=2n-1$、$\mathrm{AB}=2n$ である。$n\geqq 3$ より $\left(2n-1\right)+2n=4n-1>2n+1$（$n>1$ と同値）なので三角形はできる。

3辺のうち最大は $\mathrm{OA}=2n+1$ で、向かい合う角は $\angle \mathrm{B}$（頂点 $\mathrm{B}$ の角）である。余弦定理より

である。${\left(2n-1\right)}^2-{\left(2n+1\right)}^2=-8n$ なので分子は $4n^2-8n=4n\left(n-2\right)$ で

である。$n\geqq 3$ より $n-2\geqq 1>0$、$2n-1>0$ なので $\cos \angle \mathrm{B}>0$、つまり $\angle \mathrm{B}$ は鋭角である。

三角形の3つの角のうち最大のものは最大の辺に向かい合う角だから、$\angle \mathrm{B}$ が最大である。それが鋭角なら他の2つはさらに小さく、やはり鋭角である。よって三角形 $\mathrm{OAB}$ は鋭角三角形である。

${\left|\vec{b}-\vec{a}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\left|\vec{b}\right|}^2$ より

である。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}$ なので

である。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ より

なので

である。

$t>0$ かつ $t<1$（$n+2<2n$ は $n>2$ と同値）なので、$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ の内部にある。(1) で鋭角三角形だと示したことと合う。

(2) より

である。$\angle \mathrm{OPA}=90^{\circ }$ だから、直角三角形 $\mathrm{OPA}$ に三平方の定理を使って

である。因数分解すると

である。$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\sqrt{3\left(n^2-1\right)}$ が整数になるのは $3\left(n^2-1\right)$ が平方数のときである。$n\geqq 3$ で小さいほうから調べると

1. $n=3$ … $3\cdot 8=24$（$4^2=16$、$5^2=25$ の間）
2. $n=4$ … $3\cdot 15=45$（$6^2=36$、$7^2=49$ の間）
3. $n=5$ … $3\cdot 24=72$（$8^2=64$、$9^2=81$ の間）
4. $n=6$ … $3\cdot 35=105$（$10^2=100$、$11^2=121$ の間）
5. $n=7$ … $3\cdot 48=144=12^2$ ✓

である。よって最小の $n$ は

である。

$3\left(n^2-1\right)=m^2$ は $n^2-3{\left(\frac{m}{3}\right)}^2=1$ という形で、解は $n=1,2,7,26,97,\dots$ と続く。$3$ 以上では $7$ が最小である。