第1問対数・積分法の解答・解説

絶対値の場合分け・双曲線と直線・領域の図示・面積の計算当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $lo g x, lo g y$ を自然対数とするとき、方程式 $∣ lo g x ∣ + ∣ lo g y ∣ = 1$ の表す図形をかく

答4点 $(\frac{1}{e}, 1), (1, e), (e, 1), (1, \frac{1}{e})$ を結ぶ、2本の直線と2本の双曲線の一部からなる閉じた曲線

$x$ と $1$ 、 $y$ と $1$ の大小で4つに場合分けすると、どれも見慣れた曲線になる。

$x > 0$ 、 $y > 0$ である。 $lo g x$ の符号は $x$ と $1$ の大小で、 $lo g y$ の符号は $y$ と $1$ の大小で決まるので、4つに分ける。

$x ≧ 1$ かつ $y ≧ 1$ … $lo g x + lo g y = 1$ 、つまり $lo g (x y) = 1$ より $x y = e$ 。 $y ≧ 1$ から $x ≦ e$ なので $1 ≦ x ≦ e$ 。
$x ≧ 1$ かつ $y ≦ 1$ … $lo g x - lo g y = 1$ 、つまり $lo g \frac{x}{y} = 1$ より $y = \frac{x}{e}$ 。 $y ≦ 1$ から $x ≦ e$ なので $1 ≦ x ≦ e$ 。
$x ≦ 1$ かつ $y ≧ 1$ … $- lo g x + lo g y = 1$ より $y = e x$ 。 $y ≧ 1$ から $x ≧ \frac{1}{e}$ なので $\frac{1}{e} ≦ x ≦ 1$ 。
$x ≦ 1$ かつ $y ≦ 1$ … $- lo g x - lo g y = 1$ より $x y = \frac{1}{e}$ 。 $\frac{1}{e} ≦ x ≦ 1$ 。

である。4つの枝は $(1, e)$ 、 $(e, 1)$ 、 $(1, \frac{1}{e})$ 、 $(\frac{1}{e}, 1)$ でつながり、閉じた曲線になる。

4つの枝の上の点で $∣ lo g x ∣ + ∣ lo g y ∣$ を計算すると、どれもちょうど $1$ になった。

$u = lo g x$ 、 $v = lo g y$ とおくと $∣ u ∣ + ∣ v ∣ = 1$ は正方形（ひし形）だが、 $x = e^{u}$ 、 $y = e^{v}$ に戻すと辺がゆがんで、直線2本と双曲線2本になる。

(2)不等式 $∣ lo g x ∣ + ∣ lo g y ∣ ≦ 1$ の表す領域の面積を求める

答 $e - \frac{1}{e}$

$x = 1$ で左右に分け、それぞれ「上の曲線－下の曲線」を積分する。

(1) の図形の内部が求める領域である。 $\frac{1}{e} ≦ x ≦ 1$ では上が $y = e x$ 、下が $y = \frac{1}{e x}$ 、 $1 ≦ x ≦ e$ では上が $y = \frac{e}{x}$ 、下が $y = \frac{x}{e}$ である。

S = \int_{\frac{1}{e}}^{1} (e x - \frac{1}{e x}) d x + \int_{1}^{e} (\frac{e}{x} - \frac{x}{e}) d x

である。前半は

[\frac{e x ^{2}}{2} - \frac{lo g x}{e}]_{\frac{1}{e}}^{1} = \frac{e}{2} - (\frac{1}{2 e} + \frac{1}{e}) = \frac{e}{2} - \frac{3}{2 e}

（ $lo g \frac{1}{e} = - 1$ に注意）、後半は

[e lo g x - \frac{x ^{2}}{2 e}]_{1}^{e} = (e - \frac{e}{2}) - (0 - \frac{1}{2 e}) = \frac{e}{2} + \frac{1}{2 e}

である。足すと

S = \frac{e}{2} - \frac{3}{2 e} + \frac{e}{2} + \frac{1}{2 e} = e - \frac{1}{e}

である（ $2.3504 \dots$ ）。

$x = e^{u}$ 、 $y = e^{v}$ と置き換えると、面積は $\iint_{∣ u ∣ + ∣ v ∣ ≦ 1} e^{u + v} d u d v$ になり、 $s = u + v$ で見ると $\int_{- 1}^{1} e^{s} d s = e - \frac{1}{e}$ と一気に出る。答えがきれいなのはこのためである。

2つに分けて数値積分すると $0.8073218 + 1.5430806 = 2.3504024$ で、 $e - \frac{1}{e} = 2.3504024$ と一致した。

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問題文について

(1)logx,logy を自然対数とするとき、方程式 ∣logx∣+∣logy∣=1 の表す図形をかく

(2)不等式 ∣logx∣+∣logy∣≦1 の表す領域の面積を求める

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