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名古屋市立大学　2021年度　前期日程　医学部医学科

第4問確率の解答・解説

状態を2つの数で表す・手番が移る場合を見分ける・後ろから順に確率を出す・引き分けの確率当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $1$ から $n$ までの番号が付いたカードが2枚ずつ、全部で $2 n$ 枚箱に入っている。 $A$ から始めて交互に、箱から無作為に2枚取り出して机に置き、机の上に同じ番号の組があればそれをすべて自分のものにして続け、1組もなければ机に残して手番を渡す。箱が空になったとき枚数の多いほうが勝ち。 $n = 2$ のとき $B$ が勝つ確率 $P (2)$ を求める

答 $P (2) = \frac{2}{3}$

机に残るカードは番号がすべて違い、その相方は必ず箱の中にある。そこで状態を「箱に2枚ある番号の個数 $d$ 」と「箱に1枚・机に1枚の番号の個数 $s$ 」で表す。

状態の表し方　同じ番号が2枚そろうと必ず取り去られるので、机の上のカードは番号がすべて違う。しかも机の上のカードの相方は必ず箱の中にある。そこで

$d$ … 2枚とも箱にある番号の個数
$s$ … 1枚が箱、1枚が机の上にある番号の個数

とおく。箱には $2 d + s$ 枚、机には $s$ 枚あり、まだ取られていないカードは $2 d + 2 s$ 枚である。はじめは $(d, s) = (n, 0)$ である。

箱の $2 d + s$ 枚から2枚を選ぶ $_{2 d + s} C_{2}$ 通りはすべて同様に確からしい。引いた2枚の種類で分けると

(ア) 同じ $d$ 番号の2枚（ $d$ 通り）… 1組そろうので2枚取り、状態は $(d - 1, s)$ 。手番は続く。
(イ) 異なる2つの $d$ 番号から1枚ずつ（ $2 d (d - 1)$ 通り）… そろわず2枚とも机に残る。状態は $(d - 2, s + 2)$ 。手番が移る。
(ウ) $d$ 番号から1枚と $s$ 番号から1枚（ $2 d s$ 通り）… $s$ のほうが机の相方とそろって2枚取り、 $d$ のほうは机に残る。状態は $(d - 1, s)$ 。手番は続く。
(エ) 異なる2つの $s$ 番号から1枚ずつ（ $\frac{s ( s - 1 )}{2}$ 通り）… 2組そろって4枚取る。状態は $(d, s - 2)$ 。手番は続く。

である（ $d + 2 d (d - 1) + 2 d s + \frac{s ( s - 1 )}{2} =_{2 d + s} C_{2}$ になる）。手番が移るのは (イ) だけである。また $s$ は $0$ から始まって $0, \pm 2$ しか変わらないので、つねに偶数で、箱の枚数 $2 d + s$ も偶数である。

よく使う状態　次の3つでは、手番の人が残りを全部取る。

$(1, 0)$ … 箱は2枚で (ア) しかない。2枚取って終わり。
$(0, 2)$ … 箱は2枚で (エ) しかない。4枚取って終わり。
$(1, 2)$ … 箱は4枚。(ア) 1通りは $2 + 4 = 6$ 枚、(ウ) 4通りも $2 + 4 = 6$ 枚、(エ) 1通りは $4 + 2 = 6$ 枚。どの $_{4} C_{2} = 6$ 通りでも全部（6枚）取る。

$n = 2$ のとき　はじめは $(2, 0)$ で箱は4枚、 $_{4} C_{2} = 6$ 通り。

(ア) $2$ 通り（ $\frac{1}{3}$ ）… $A$ が2枚取って $(1, 0)$ 、 $A$ 続行。さらに2枚取って $A$ が4枚、 $B$ が0枚。
(イ) $4$ 通り（ $\frac{2}{3}$ ）… $(0, 2)$ で $B$ の手番。 $B$ が4枚取る。 $A$ が0枚、 $B$ が4枚。

である。よって

P (2) = \frac{2}{3}

である（引き分けは起こらない）。

カードの出る順 $4! = 24$ 通りを全列挙すると、 $B$ の勝ちが $16$ 通りで $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ だった。

「そろったら手番が続く」ので、1回の手番で何度も引けることがある。手番が移るのは (イ) のときだけ。

(2) $n = 3$ のとき、 $B$ が勝つ確率 $P (3)$ を求める

答 $P (3) = \frac{14}{15}$

(1) の状態の言葉で、 $(3, 0)$ から順に追う。

まず $(2, 0)$ から手番の人が取る枚数を押さえておく。(1) の計算から、手番の人は確率 $\frac{1}{3}$ で4枚すべて、確率 $\frac{2}{3}$ で0枚（相手が4枚）である。

$n = 3$ のはじめは $(3, 0)$ で箱は6枚、 $_{6} C_{2} = 15$ 通りである。

(ア) $3$ 通り（ $\frac{1}{5}$ ）… $A$ が2枚取って $(2, 0)$ 、 $A$ 続行。残り4枚のうち $A$ は確率 $\frac{1}{3}$ で4枚、 $\frac{2}{3}$ で0枚。
(イ) $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ 通り（ $\frac{4}{5}$ ）… $(1, 2)$ で $B$ の手番。上で見たとおり $B$ が残り6枚を全部取る。

である。 $A$ の最終的な枚数で整理すると

$A = 6$ （ $B = 0$ ）… $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$
$A = 2$ （ $B = 4$ ）… $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{15}$
$A = 0$ （ $B = 6$ ）… $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$

である。 $B$ が勝つのは下の2つなので

P (3) = \frac{2}{15} + \frac{12}{15} = \frac{14}{15}

である。

$(1, 2)$ でどう引いても全部取れてしまうのが効いて、 $B$ の勝ちが $\frac{14}{15}$ と大きくなる。先手が有利とは限らない。

カードの出る順 $6! = 720$ 通りを全列挙すると、 $B$ の勝ちは $672$ 通りで $\frac{672}{720} = \frac{14}{15}$ だった。

(3) $n = 4$ のとき、 $B$ が勝つ確率 $P (4)$ と引き分ける確率 $Q (4)$ を求める

答 $P (4) = \frac{74}{105}$ 、 $Q (4) = \frac{2}{35}$

状態 $(2, 2)$ 、 $(0, 4)$ 、 $(3, 0)$ での「手番の人が取る枚数」を先に出しておく。

はじめは $(4, 0)$ で、残り $8$ 枚である。必要な状態での「手番の人が取る枚数」を順に出す。

$(0, 4)$ 　箱は4枚で、どの2枚も異なる $s$ 番号だから (エ) しかない。4枚取って $(0, 2)$ になり、さらに4枚。手番の人が8枚すべて取る。

$(3, 0)$ 　(2) で見たとおり、手番の人の取る枚数は $6$ 枚が $\frac{1}{15}$ 、 $2$ 枚が $\frac{2}{15}$ 、 $0$ 枚が $\frac{12}{15}$ である。

$(2, 2)$ 　箱は $2 \cdot 2 + 2 = 6$ 枚で $_{6} C_{2} = 15$ 通り、残りは8枚である。

(ア) $d = 2$ 通り … 2枚取って $(1, 2)$ 、手番続行で残り6枚も全部。計 $8$ 枚。
(イ) $2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ 通り … $(0, 4)$ で相手の手番。相手が8枚すべて。手番の人は $0$ 枚。
(ウ) $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ 通り … 2枚取って $(1, 2)$ 、手番続行で残り6枚も全部。計 $8$ 枚。
(エ) $\frac{2 \cdot 1}{2} = 1$ 通り … 4枚取って $(2, 0)$ 、手番続行。そこからは $\frac{1}{3}$ で4枚、 $\frac{2}{3}$ で0枚。計 $8$ 枚が $\frac{1}{3}$ 、 $4$ 枚が $\frac{2}{3}$ 。

である。まとめると、 $(2, 2)$ で手番の人が取る枚数は

8 枚 : \frac{2 + 8}{15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{3} = \frac{31}{45}, 4 枚 : \frac{1}{15} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{45}, 0 枚 : \frac{4}{15} = \frac{12}{45}

である。

$(4, 0)$ 　箱は8枚で $_{8} C_{2} = 28$ 通りである。

(ア) $4$ 通り（ $\frac{1}{7}$ ）… $A$ が2枚取って $(3, 0)$ 、 $A$ 続行。 $A$ の合計は $2 + 6 = 8$ が $\frac{1}{15}$ 、 $2 + 2 = 4$ が $\frac{2}{15}$ 、 $2 + 0 = 2$ が $\frac{12}{15}$ 。
(イ) $2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$ 通り（ $\frac{6}{7}$ ）… $(2, 2)$ で $B$ の手番。 $B$ が $8, 4, 0$ 枚を $\frac{31}{45}, \frac{2}{45}, \frac{12}{45}$ でとるので、 $A$ は $0, 4, 8$ 枚。

である。 $A$ の枚数ごとに確率をまとめると

$A = 8$ … $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{15} + \frac{6}{7} \cdot \frac{12}{45} = \frac{1}{105} + \frac{24}{105} = \frac{25}{105}$
$A = 4$ … $\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{15} + \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{45} = \frac{2}{105} + \frac{4}{105} = \frac{6}{105}$
$A = 2$ … $\frac{1}{7} \cdot \frac{12}{15} = \frac{12}{105}$
$A = 0$ … $\frac{6}{7} \cdot \frac{31}{45} = \frac{62}{105}$

である（合計 $\frac{25 + 6 + 12 + 62}{105} = 1$ ）。 $B$ の枚数は $8 - A$ だから

P (4) = \frac{12}{105} + \frac{62}{105} = \frac{74}{105}, Q (4) = \frac{6}{105} = \frac{2}{35}

である（ $A$ が勝つ確率は $\frac{25}{105} = \frac{5}{21}$ ）。

40万回のモンテカルロで $B$ の勝ちが $0.70399$ 、引き分けが $0.05734$ となり、 $\frac{74}{105} = 0.70476$ 、 $\frac{2}{35} = 0.05714$ と合った。

$n = 4$ では全部で8枚なので、 $4$ 対 $4$ の引き分けが起こりうる。 $n = 2, 3$ では枚数の分かれ方から引き分けにならない。

(イ) で手番が移ったあとは、相手の取る枚数を出してから $8$ から引く。自分の取る枚数をそのまま使わない。

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(2)n=3 のとき、B が勝つ確率 P(3) を求める

(3)n=4 のとき、B が勝つ確率 P(4) と引き分ける確率 Q(4) を求める

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