第3問数列・極限の解答・解説

比の形の漸化式・階乗の積を約分する・部分分数分解・無限級数の和当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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答 $4$

比を1から $n - 1$ まで掛け合わせると、分子と分母が大きく約分できる。

$n ≧ 2$ のとき

a_{n} = a_{1} \cdot \frac{a _{2}}{a _{1}} \cdot \frac{a _{3}}{a _{2}} \dots \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \dots \frac{n - 1}{n + 1}

である。分子は $1 \cdot 2 \dots (n - 1) = (n - 1)!$ 、分母は $3 \cdot 4 \dots (n + 1) = \frac{( n + 1 ) !}{2}$ なので

a_{n} = 2 \cdot \frac{( n - 1 ) !}{\frac{( n + 1 ) !}{2}} = \frac{4 ( n - 1 ) !}{( n + 1 ) !} = \frac{4}{n ( n + 1 )}

である（ $n = 1$ でも $\frac{4}{1 \cdot 2} = 2$ で合う）。部分分数に分けると

a_{n} = 4 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})

なので、第 $N$ 項までの和は途中が打ち消し合って

n = 1 \sum N a_{n} = 4 (1 - \frac{1}{N + 1})

である。 $N \to \infty$ として

n = 1 \sum \infty a_{n} = 4

である。

漸化式から順に計算した $a_{n}$ は $\frac{4}{n ( n + 1 )}$ と一致し、部分和は $4$ に近づいた。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots$ のように書き並べると、分母が $3$ から始まることを見落としやすい。 $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{1}{3}$ である。

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