名古屋工業大学　2026年度　前期日程　工学部

第2問数列の解答・解説

因数分解を誘導に使う・逆数の置きかえ・階差数列・部分分数分解・場合分けの見落とし当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は名古屋工業大学が公開しています。

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掲載ページ名「入学試験過去問題」／2026/10/06に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $x^{2} + x - x y - y$ を因数分解する

答 $(x + 1) (x - y)$

方針 $x$ を含む2項、 $y$ を含む2項でくくると、共通因数 $x + 1$ が出る。

x^{2} + x - x y - y = x (x + 1) - y (x + 1) = (x + 1) (x - y)

(2) $b_{n} = \frac{1}{a _{n} + 1}$ とおくとき、 $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ と $n$ で表す

答 $b_{n + 1} = b_{n} + \frac{1}{n ( n + 1 )}$

方針(1) で右辺を $(a_{n} + 1) (a_{n} - a_{n + 1})$ に直すと、両辺に $a_{n} + 1$ がある。約分したあと両辺を $(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)$ で割ると、逆数だけの式になる。

(1) より右辺は $(a_{n} + 1) (a_{n} - a_{n + 1})$ 。 $a_{n} \neq = - 1$ だから両辺を $a_{n} + 1$ で割れて

\frac{( a _{n + 1} + 1 ) ( a _{n} + 1 )}{( n + 1 ) n} = a_{n} - a_{n + 1}

右辺は $(a_{n} + 1) - (a_{n + 1} + 1)$ と書ける。両辺を $(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)$ で割ると

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{a _{n + 1} + 1} - \frac{1}{a _{n} + 1} = b_{n + 1} - b_{n}

b_{n + 1} = b_{n} + \frac{1}{n ( n + 1 )}

検算

$a_{1} = 2$ とすると $b_{1} = \frac{1}{3}$ 、 $b_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ で $a_{2} = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$ 。これを元の漸化式に入れると両辺とも $\frac{9}{10}$ になる。

答案で省略しない方がよい点

割ってよいのは $a_{n} \neq = - 1$ が与えられているから。この条件が (2)(3) に明記されていることに意味がある（(4) で効く）。
$(a_{n + 1} + 1)$ で割るには $a_{n + 1} \neq = - 1$ も要る。これは「 $a_{n} \neq = - 1$ ならば $a_{n + 1} \neq = - 1$ 」から従う（下の (4) の囲み参照）。

(3) $a_{n}$ を $a_{1}$ と $n$ で表す

答 $a_{n} = \frac{a _{1} + 1 - n}{( n - 1 ) a _{1} + 2 n - 1}$

方針(2) は階差の形。 $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ と部分分数に分けると、足し合わせたときに途中が消える。

b_{n} = b_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = b_{1} + 1 - \frac{1}{n} (n \geq 1)

$b_{1} = \frac{1}{a _{1} + 1}$ を入れて通分すると

b_{n} = \frac{1}{a _{1} + 1} + \frac{n - 1}{n} = \frac{n + ( n - 1 ) ( a _{1} + 1 )}{n ( a _{1} + 1 )}

$a_{n} = \frac{1}{b _{n}} - 1$ なので

a_{n} = \frac{n ( a _{1} + 1 )}{n + ( n - 1 ) ( a _{1} + 1 )} - 1 = \frac{a _{1} + 1 - n}{( n - 1 ) a _{1} + 2 n - 1}

検算

$n = 1$ を入れると $\frac{a _{1}}{1} = a_{1}$ で合う。 $a_{1} = 2$ なら $a_{2} = \frac{3 - 2}{2 + 3} = \frac{1}{5}$ で (2) の検算と一致する。

答案で省略しない方がよい点

階差の和は $k = 1$ から $n - 1$ まで。 $n$ までにすると $\frac{1}{n + 1}$ がずれる。
分母を $n + (n - 1) (a_{1} + 1)$ のまま残してもよいが、展開して $(n - 1) a_{1} + 2 n - 1$ にすると (4) の計算が楽になる。

(4) $a_{10} = 1$ であるとき、 $a_{1}$ としてとりうる値をすべて求める

答 $a_{1} = - \frac{7}{2}$ と $a_{1} = - 1$

方針この小問には「すべての $n$ で $a_{n} \neq = - 1$ 」という条件が付いていない。だから $a_{1} = - 1$ の場合を別に調べる必要がある。「すべて求めよ」はその合図。

(i) $a_{1} \neq = - 1$ のとき。 (3) の式に $n = 10$ を入れる。

\frac{a _{1} - 9}{9 a _{1} + 19} = 1 ⟹ a_{1} - 9 = 9 a_{1} + 19 ⟹ a_{1} = - \frac{7}{2}

(ii) $a_{1} = - 1$ のとき。 元の漸化式で $n = 1$ とすると、左辺は $(a_{2} + 1) (a_{1} + 1)^{2} /2 = 0$ 、右辺も $(a_{1} + 1) (a_{1} - a_{2}) = 0$ 。

つまり $a_{2}$ がどんな値でも成り立つ。 $a_{2} \neq = - 1$ を選べば $n \geq 2$ で (2) が使えて、 $b_{10} = b_{2} + k = 2 \sum 9 \frac{1}{k ( k + 1 )} = b_{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{10}$ 。

$a_{10} = 1$ すなわち $b_{10} = \frac{1}{2}$ とすると $b_{2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{1}{10}$ 、つまり $a_{2} = 9$ 。これは $- 1$ でないので条件に合う。

したがって $a_{1} = - 1$ も $a_{10} = 1$ を実現できる。以上より $a_{1} = - \frac{7}{2}, - 1$ 。

検算

$a_{1} = - \frac{7}{2}$ では $a_{10} = \frac{- \frac{7}{2} - 9}{9 \cdot ( - \frac{7}{2} ) + 19} = \frac{- \frac{25}{2}}{- \frac{25}{2}} = 1$ 。 $a_{1} = - 1, a_{2} = 9$ では $b_{2} = \frac{1}{10}$ から順に足して $b_{10} = \frac{1}{2}$ 、 $a_{10} = 1$ 。どちらも分数のまま確かめた。

答案で省略しない方がよい点

(2)(3) にあった「 $a_{n} \neq = - 1$ 」が (4) にはない。 問題文の条件の差を読み落とすと $- \frac{7}{2}$ だけで終わる。「すべて求めよ」という言い方が手がかり。
$a_{1} = - 1$ のとき漸化式は $0 = 0$ になり、 $a_{2}$ を決めない。だから $a_{2}$ を選ぶ自由があり、そこで帳尻を合わせられる。
$a_{1} = - 1$ では $b_{1} = \frac{1}{a _{1} + 1}$ が定義できない。(3) の式に $a_{1} = - 1$ を代入してはいけない。