名工大 2026年度 数学の解答・解説

定義域は $x>0$。$u=\log x$ と置くと $f=\frac{u^3}{3}-3u$ で、合成関数の微分から

$x>0$ だから符号は分子で決まる。$u^2-3=0$ より $u=\pm \sqrt{3}$、すなわち $x=e^{\pm \sqrt{3}}$。

$u^2-3$ は下に凸の放物線なので、符号は $u$ の小さいほうから正・負・正。$u$ は $x$ とともに増えるので、$x$ についても同じ順で変わる。

$f^{\prime \prime }=0$ となるのは $u=3,-1$、つまり $x=e^3,e^{-1}$。

1. $u<-1$ … $(u-3)(u+1)>0$ なので $f^{\prime \prime }<0$（上に凸）
2. $-1<u<3$ … $(u-3)(u+1)<0$ なので $f^{\prime \prime }>0$（下に凸）
3. $u>3$ … $f^{\prime \prime }<0$（上に凸）

どちらでも凹凸が入れ替わるので、2つとも変曲点。$y$ 座標は

まず $x$ 軸との交点。$\frac{u(u^2-9)}{3}=0$ より $u=0,\pm 3$、つまり $x=e^{-3},1,e^3$。

$u(u^2-9)$ の符号から、$-3<u<0$ で $f>0$、$0<u<3$ で $f<0$。囲まれる部分は2つに分かれる。

$x=e^u$ と置換して、原始関数をまとめて作る。

$\int u^3{e}^{u}du=e^u(u^3-3u^2+6u-6)$ と $\int u{e}^{u}du=e^u(u-1)$ を組み合わせれば出る。値は

(1) より右辺は $\left(a_n+1\right)\left(a_n-a_{n+1}\right)$。$a_n\ne -1$ だから両辺を $a_n+1$ で割れて

右辺は $\left(a_n+1\right)-\left(a_{n+1}+1\right)$ と書ける。両辺を $\left(a_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)$ で割ると

$b_1=\frac{1}{a_1+1}$ を入れて通分すると

$a_n=\frac{1}{b_n}-1$ なので

(i) $a_1\ne -1$ のとき。 (3) の式に $n=10$ を入れる。

(ii) $a_1=-1$ のとき。 元の漸化式で $n=1$ とすると、左辺は $\left(a_2+1\right){\left(a_1+1\right)}^2/2=0$、右辺も $\left(a_1+1\right)\left(a_1-a_2\right)=0$。

つまり$a_2$ がどんな値でも成り立つ。$a_2\ne -1$ を選べば $n\ge 2$ で (2) が使えて、$b_{10}=b_2+\sum _{k=2}^9\frac{1}{k(k+1)}=b_2+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}$。

$a_{10}=1$ すなわち $b_{10}=\frac{1}{2}$ とすると $b_2=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\frac{1}{10}$、つまり $a_2=9$。これは $-1$ でないので条件に合う。

したがって $a_1=-1$ も $a_{10}=1$ を実現できる。以上より $a_1=-\frac{7}{2},-1$。

$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=3:1$ なので $\mathrm{B}$ 側の重みが大きい。

$\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=6:1$ なので $\mathrm{D}$ 側の重みが大きい。

係数の和は $\frac{3}{14}+\frac{9}{14}+\frac{2}{14}=1$。$\mathrm{E}$ が $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ の張る平面上にあることと合う。

一辺 $1$ の正四面体だから $|\vec{a}{|}^2=|\vec{b}{|}^2=|\vec{c}{|}^2=1$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$（なす角 $60^{\circ }$）。

$\overrightarrow{\mathrm{EH}}\cdot \vec{a}=0$ と $\overrightarrow{\mathrm{EH}}\cdot \vec{c}=0$ を立てると

上の式を2倍して下を引くなどして解くと $\gamma =\frac{5}{14}$、$\alpha =\frac{3}{7}$。

内積を展開する。$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{c}\cdot \vec{b}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$、$|\vec{a}{|}^2=1$ を使うと

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=1$ だから

$(s,t)$ の動く範囲は $(0,0),(2,0),\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ を頂点とする三角形で、その面積は

$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ の張る平行四辺形の面積は $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AH}}\right|\sin \theta$。(3) より $\sin \theta =\sqrt{1-{\left(\frac{4}{7}\right)}^2}=\frac{\sqrt{33}}{7}$ だから

$(s,t)$ 平面での面積をこの倍率で引き伸ばせばよい。

$\frac{\sqrt{6}}{3}=0.816\dots$ なので、どちらも $x\ge -2$ の内側にある。$f^{\prime }$ は下に凸なので符号は正・負・正、つまり $x=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ で極大、$x=\frac{\sqrt{6}}{3}$ で極小。

$f(-2)=0$ だから $x+2$ でくくれる。

$x=-2$ は $t$ によらず常に共有点。残りは $x\ne -2$ のもとで

1. この2次式に $x=-2$ を入れると $10\ne 0$。だから $x=-2$ は重複しない
2. 2解の和は $2+t>0$ なので、2解がそろって $-2$ より小さいことはない。$x=-2$ での値が正なので2解とも $-2$ より大きい
3. よって3点になる条件は判別式が正であることだけ

$t>0$ の範囲では $t>-6+2\sqrt{10}$。$2\sqrt{10}-6=0.3245\dots$。

$D=t^2+12t-4=0$ より $t=2\sqrt{10}-6$。重解は $x=\frac{2+t}{2}=\sqrt{10}-2$。

$\mathrm{P}(-2,0)$、$\mathrm{Q}$ の $x$ 座標は $\sqrt{10}-2$。2乗の差は

与えられた公式で $a=-2$、$b=c=\sqrt{10}-2$ とすると、$2b-a-c=b+2=\sqrt{10}$、$c-a=\sqrt{10}$ だから

$\beta ,\gamma$ を $p<q$ と書く。$[-2,p]$ では $C\ge {\ell }_t$、$[p,q]$ では $C\le {\ell }_t$ なので

$V_1$ は公式で $a=-2,b=q,c=p$、$V_2$ は $a=p,b=-2,c=q$ として符号を直したもの。

$s=p+q$、$d=q-p>0$ と置き、さらに $w=s+4$ とまとめると、$V_1=V_2$ は

展開して $d^4$ で割り、$k=\frac{w}{d}$ と置くと

$p,q>-2$ より $w=p+q+4>0$、$d>0$ だから $k>0$。よって $k=3$、つまり $s+4=3(q-p)$。

解と係数の関係 $p+q=2+t$、$pq=2-2t$ から $pq=6-2s$ なので $(q-p{)}^2=s^2+8s-24$。$q-p=\frac{s+4}{3}$ を入れて

$s=2+t$ で $t>2\sqrt{10}-6$ だから $s>2.32\dots$。$-4+3\sqrt{5}=2.708\dots$ が適し、$-4-3\sqrt{5}$ は不適。