名古屋工業大学　2026年度　前期日程　工学部

第4問微分積分の解答・解説

共通因数で次数を下げる・共有点の個数と判別式・回転体の体積・与えられた積分公式の使い方当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は名古屋工業大学が公開しています。

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掲載ページ名「入学試験過去問題」／2026/10/06に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $f (x) = x^{3} - 2 x + 4$ （ $x \geq - 2$ ）の極値を求める

答 $x = - \frac{6}{3}$ で極大値 $4 + \frac{4 6}{9}$ 、 $x = \frac{6}{3}$ で極小値 $4 - \frac{4 6}{9}$

方針ふつうの3次関数の増減。ただし定義域が $x \geq - 2$ なので、極値の位置が範囲に入るかを確かめる。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 = 0 ⟹ x = \pm \frac{6}{3}

$\frac{6}{3} = 0.816 \dots$ なので、どちらも $x \geq - 2$ の内側にある。 $f^{'}$ は下に凸なので符号は正・負・正、つまり $x = - \frac{6}{3}$ で極大、 $x = \frac{6}{3}$ で極小。

f (\mp \frac{6}{3}) = 4 \pm \frac{4 6}{9}

検算

$f (- 2) = - 8 + 4 + 4 = 0$ 。 $f$ が $x \geq - 2$ で $0$ 以上であることは、極小値が正であることから言える。

答案で省略しない方がよい点

$x \geq - 2$ という制限がわざわざ付いているのは、 $f (x)$ を定義するため。 $f (- 2) = 0$ が後の小問の鍵になる。

(2) $C$ と $ℓ_{t}$ が異なる3つの共有点をもつような $t$ の範囲を求める

答 $t > 210 - 6$

方針両辺とも $x \geq - 2$ で $0$ 以上なので、2乗しても同値。すると $x^{3} - 2 x + 4 = t (x + 2)^{2}$ で、両辺に $x + 2$ が共通に現れることに気づけば次数が1つ下がる。

$f (- 2) = 0$ だから $x + 2$ でくくれる。

x^{3} - 2 x + 4 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)

(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2) = t (x + 2)^{2}

$x = - 2$ は $t$ によらず常に共有点。残りは $x \neq = - 2$ のもとで

x^{2} - (2 + t) x + (2 - 2 t) = 0

この2次式に $x = - 2$ を入れると $10 \neq = 0$ 。だから $x = - 2$ は重複しない
2解の和は $2 + t > 0$ なので、2解がそろって $- 2$ より小さいことはない。 $x = - 2$ での値が正なので2解とも $- 2$ より大きい
よって3点になる条件は判別式が正であることだけ

D = (2 + t)^{2} - 4 (2 - 2 t) = t^{2} + 12 t - 4 > 0

$t > 0$ の範囲では $t > - 6 + 210$ 。 $210 - 6 = 0.3245 \dots$ 。

検算

$t = 0.345$ では共有点が3つ、 $t = 0.305$ では1つだけ、と数値で数えても境界が一致する。

答案で省略しない方がよい点

$x = - 2$ を忘れない。2次方程式の解だけ数えると「2点」と答えてしまう。
2解が定義域 $x \geq - 2$ に入るかの確認が要る。ここは「 $x = - 2$ での値が正」＋「和が正」で片づく。
2乗して同値になるのは、 $ℓ_{t}$ の右辺 $t (x + 2)$ が $x \geq - 2$ で $0$ 以上だから。無条件ではない。

(3)共有点がちょうど2つ $P, Q$ のとき、 $C$ と線分 $PQ$ で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{25}{3} π$

方針ちょうど2点 ⟺ 判別式が $0$ （重解）。回転体の体積は $π \int (C^{2} - ℓ^{2}) d x$ で、 $C^{2} - ℓ^{2}$ がそのまま因数分解された形になるので、与えられた積分公式がそのまま使える。

$D = t^{2} + 12 t - 4 = 0$ より $t = 210 - 6$ 。重解は $x = \frac{2 + t}{2} = 10 - 2$ 。

$P (- 2, 0)$ 、 $Q$ の $x$ 座標は $10 - 2$ 。2乗の差は

C^{2} - ℓ_{t}^{2} = (x + 2) (x - (10 - 2))^{2} \geq 0

与えられた公式で $a = - 2$ 、 $b = c = 10 - 2$ とすると、 $2 b - a - c = b + 2 = 10$ 、 $c - a = 10$ だから

\int_{- 2}^{10 - 2} (x + 2) (x - (10 - 2))^{2} d x = \frac{1}{12} (10)^{3} \cdot 10 = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}

V = \frac{25}{3} π

検算

数値積分すると $V = 26.179938780 \dots$ 、 $\frac{25}{3} π = 26.179938780 \dots$ で一致する。

答案で省略しない方がよい点

「ちょうど2つ」は判別式 $0$ のとき。 $D < 0$ なら $x = - 2$ だけで1点になる。
$C$ が上、 $ℓ_{t}$ が下。 $(x + 2) (x - r)^{2} \geq 0$ がそれを示している。符号を逆にしない。
与えられた公式は $b = c$ でも使える。 $(x - b) (x - c)$ が2乗になるだけ。

(4)共有点が3つ（ $x$ 座標 $α < β < γ$ ）で、 $C$ と線分 $PQ$ による回転体の体積 $V_{1}$ と、 $C$ と線分 $QR$ による回転体の体積 $V_{2}$ が等しくなる $t$ を求める

答 $t = 35 - 6$

方針 $α = - 2$ で、 $β, γ$ は (2) の2次方程式の2解。 $C^{2} - ℓ^{2} = (x + 2) (x - β) (x - γ)$ なので、2つの体積とも与えられた公式1本で書ける。あとは和と差だけの式に直す。

$β, γ$ を $p < q$ と書く。 $[- 2, p]$ では $C \geq ℓ_{t}$ 、 $[p, q]$ では $C \leq ℓ_{t}$ なので

V_{1} = \frac{π}{12} (p + 2)^{3} (2 q + 2 - p), V_{2} = \frac{π}{12} (q - p)^{3} (4 + p + q)

$V_{1}$ は公式で $a = - 2, b = q, c = p$ 、 $V_{2}$ は $a = p, b = - 2, c = q$ として符号を直したもの。

$s = p + q$ 、 $d = q - p > 0$ と置き、さらに $w = s + 4$ とまとめると、 $V_{1} = V_{2}$ は

(w - d)^{3} (w + 3 d) = 16 d^{3} w

展開して $d^{4}$ で割り、 $k = \frac{w}{d}$ と置くと

k^{4} - 6 k^{2} - 8 k - 3 = (k + 1)^{3} (k - 3) = 0

$p, q > - 2$ より $w = p + q + 4 > 0$ 、 $d > 0$ だから $k > 0$ 。よって $k = 3$ 、つまり $s + 4 = 3 (q - p)$ 。

解と係数の関係 $p + q = 2 + t$ 、 $pq = 2 - 2 t$ から $pq = 6 - 2 s$ なので $(q - p)^{2} = s^{2} + 8 s - 24$ 。 $q - p = \frac{s + 4}{3}$ を入れて

\frac{( s + 4 ) ^{2}}{9} = s^{2} + 8 s - 24 ⟹ s^{2} + 8 s - 29 = 0 ⟹ s = - 4 \pm 35

$s = 2 + t$ で $t > 210 - 6$ だから $s > 2.32 \dots$ 。 $- 4 + 35 = 2.708 \dots$ が適し、 $- 4 - 35$ は不適。

t = s - 2 = 35 - 6

検算

$35 - 6 = 0.708203932 \dots$ で、(2) の範囲 $t > 0.324555 \dots$ に入る。この $t$ で数値積分すると $V_{1} = V_{2} = 19.634954085$ で、差は $1 0^{- 13}$ 未満。 $V_{1} - V_{2}$ を二分法で $0$ にする $t$ を探しても同じ値に着く。

答案で省略しない方がよい点

$[p, q]$ では $C$ が下。 $V_{2}$ の被積分関数は $ℓ_{t}^{2} - C^{2}$ で、公式の値に $- 1$ を掛ける必要がある。
$k^{4} - 6 k^{2} - 8 k - 3$ は $(k + 1)^{3} (k - 3)$ と因数分解できる。 $k = - 1$ は3重解だが、 $k > 0$ なので捨てる。
$s$ の2解のうち負のほうは、共有点が3つになる範囲に入らない。(2) の結果と突き合わせて捨てる。