第3問 空間ベクトルの解答・解説

$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=3:1$ なので $\mathrm{B}$ 側の重みが大きい。

$\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=6:1$ なので $\mathrm{D}$ 側の重みが大きい。

係数の和は $\frac{3}{14}+\frac{9}{14}+\frac{2}{14}=1$。$\mathrm{E}$ が $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ の張る平面上にあることと合う。

一辺 $1$ の正四面体だから $|\vec{a}{|}^2=|\vec{b}{|}^2=|\vec{c}{|}^2=1$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$（なす角 $60^{\circ }$）。

$\overrightarrow{\mathrm{EH}}\cdot \vec{a}=0$ と $\overrightarrow{\mathrm{EH}}\cdot \vec{c}=0$ を立てると

上の式を2倍して下を引くなどして解くと $\gamma =\frac{5}{14}$、$\alpha =\frac{3}{7}$。

内積を展開する。$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{c}\cdot \vec{b}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$、$|\vec{a}{|}^2=1$ を使うと

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=1$ だから

$(s,t)$ の動く範囲は $(0,0),(2,0),\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ を頂点とする三角形で、その面積は

$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ の張る平行四辺形の面積は $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AH}}\right|\sin \theta$。(3) より $\sin \theta =\sqrt{1-{\left(\frac{4}{7}\right)}^2}=\frac{\sqrt{33}}{7}$ だから

$(s,t)$ 平面での面積をこの倍率で引き伸ばせばよい。