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東北大学　2023年度　前期日程　理系

第6問微分法・積分法の解答・解説

接線・線分の通過領域・最大最小で境界を決める・対数を含む面積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $f (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{4}{6 x + 1}$ の曲線 $y = f (x)$ の接線で、傾きが $1$ かつ接点の $x$ 座標が正であるものの方程式を求める

答 $y = x - \frac{7}{4}$

$f^{'} (x) = 1$ を解くだけ。分母の2乗が $16$ になるので、きれいな値が出る。

微分すると

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} + \frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}}

である（ $\frac{d}{d x} (- 4 (6 x + 1)^{- 1}) = 24 (6 x + 1)^{- 2}$ ）。 $f^{'} (x) = 1$ とすると

\frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{2}, (6 x + 1)^{2} = 16, 6 x + 1 = \pm 4

なので $x = \frac{1}{2}$ または $x = - \frac{5}{6}$ である。接点の $x$ 座標が正だから $x = \frac{1}{2}$ で

f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = - \frac{5}{4}

である。求める接線は

y = 1 \cdot (x - \frac{1}{2}) - \frac{5}{4} = x - \frac{7}{4}

である。

$f (0.5) = - 1.25$ で、 $0.5 - 1.75 = - 1.25$ と一致する。

(2) $P (x, f (x))$ 、 $Q (x + 1, f (x) + 1)$ とし、 $x$ が $0 ≦ x ≦ 2$ を動くとき、線分 $PQ$ が通過してできる図形 $S$ の概形を描き、 $S$ の面積を求める

答面積は $\frac{237}{52} - \frac{4}{3} lo g 2$ （ $= 3.6334 \dots$ ）

$PQ$ の傾きはつねに $1$ である。そこで $y - x$ に注目し、 $g (x) = f (x) - x$ とおくと、 $S$ の各縦断面が $g$ の最大・最小で書ける。 $g$ の増減を調べれば上下の境界が決まり、面積は積分で出る。

傾きは $1$ 。 $P, Q$ の $x$ 座標の差は $1$ 、 $y$ 座標の差も $1$ なので、 $PQ$ の傾きはつねに $1$ である。線分 $PQ$ 上の点は $0 ≦ u ≦ 1$ を使って

(x + u, f (x) + u)

と書ける。 $g (x) = f (x) - x$ とおくと、この点 $(X, Y)$ について

Y - X = f (x) - x = g (x), x = X - u

である。 $0 ≦ u ≦ 1$ と $0 ≦ x ≦ 2$ から、 $x$ の動ける範囲は

I (X) = [max (0, X - 1), min (2, X)]

である（ $0 ≦ X ≦ 3$ のとき空でない）。逆に $x \in I (X)$ なら $u = X - x \in [0, 1]$ がとれるので、点 $(X, X + g (x))$ は $S$ に属する。 $g$ は連続だから、 $S$ の $X$ における縦の切り口は

X + m (X) ≦ Y ≦ X + M (X)

という区間になる。ここで $M (X), m (X)$ は $I (X)$ 上での $g$ の最大・最小である。

$g$ の増減。 (1) の計算から

g^{'} (x) = f^{'} (x) - 1 = - \frac{3}{2} + \frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}}

で、 $g^{'} (x) = 0$ は $(6 x + 1)^{2} = 16$ 、 $0 ≦ x ≦ 2$ では $x = \frac{1}{2}$ だけである。 $0 ≦ x < \frac{1}{2}$ で $g^{'} > 0$ 、 $\frac{1}{2} < x ≦ 2$ で $g^{'} < 0$ だから、 $g$ は $[0, \frac{1}{2}]$ で増加、 $[\frac{1}{2}, 2]$ で減少する。値は

g (0) = - 4, g (\frac{1}{2}) = - \frac{7}{4}, g (2) = - 3 - \frac{4}{13} = - \frac{43}{13}

である。また $g (x) = g (x + 1)$ となる $x$ は

- \frac{4}{6 x + 1} = - \frac{3}{2} - \frac{4}{6 x + 7}, (6 x + 7) (6 x + 1) = 16

すなわち $12 x^{2} + 16 x - 3 = 0$ から $x = \frac{1}{6}$ （もう一方は負）である。このとき $g (\frac{1}{6}) = g (\frac{7}{6}) = - \frac{9}{4}$ である。

上下の境界。 $I (X)$ が $\frac{1}{2}$ を含むのは $\frac{1}{2} ≦ X ≦ \frac{3}{2}$ のときなので

$0 ≦ X ≦ \frac{1}{2}$ ： $I = [0, X]$ で $g$ は増加。 $M = g (X)$ 、 $m = g (0) = - 4$
$\frac{1}{2} ≦ X ≦ 1$ ： $M = g (\frac{1}{2}) = - \frac{7}{4}$ 、 $m = g (0) = - 4$
$1 ≦ X ≦ \frac{7}{6}$ ： $M = - \frac{7}{4}$ 、 $m = g (X - 1)$
$\frac{7}{6} ≦ X ≦ \frac{3}{2}$ ： $M = - \frac{7}{4}$ 、 $m = g (X)$
$\frac{3}{2} ≦ X ≦ 2$ ： $I \subset [\frac{1}{2}, 2]$ で $g$ は減少。 $M = g (X - 1)$ 、 $m = g (X)$
$2 ≦ X ≦ 3$ ： $I = [X - 1, 2]$ 。 $M = g (X - 1)$ 、 $m = g (2) = - \frac{43}{13}$

g(x) = f(x) - x のグラフ（0 ≦ x ≦ 2）。x = 1/2 で最大 -7/4 をとり、g(1/6) = g(7/6) = -9/4 で同じ値になる。

である。 $Y = X + g (X) = f (X)$ 、 $Y = X + g (X - 1) = f (X - 1) + 1$ に注意すると、境界は次のようになる。

上の境界： $y = f (x)$ （ $0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ ）→ 接線 $y = x - \frac{7}{4}$ （ $\frac{1}{2} ≦ x ≦ \frac{3}{2}$ ）→ $y = f (x - 1) + 1$ （ $\frac{3}{2} ≦ x ≦ 3$ ）
下の境界： $y = x - 4$ （ $0 ≦ x ≦ 1$ 、 $x = 0$ のときの線分）→ $y = f (x - 1) + 1$ （ $1 ≦ x ≦ \frac{7}{6}$ ）→ $y = f (x)$ （ $\frac{7}{6} ≦ x ≦ 2$ ）→ $y = x - \frac{43}{13}$ （ $2 ≦ x ≦ 3$ 、 $x = 2$ のときの線分）

線分 PQ の通過領域 S。上の境界は y = f(x)、傾き1の接線 y = x - 7/4、y = f(x-1)+1 の3つ、下の境界は x = 0 のときの線分、y = f(x-1)+1、y = f(x)、x = 2 のときの線分の4つからできている。

面積。 $F (x) = \int f (x) d x = - \frac{x ^{2}}{4} - \frac{2}{3} lo g (6 x + 1)$ とおく。上の境界の積分は

\int_{0}^{\frac{1}{2}} f + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (x - \frac{7}{4}) d x + \int_{\frac{3}{2}}^{3} {f (x - 1) + 1} d x

で、順に $- \frac{1}{16} - \frac{4}{3} lo g 2$ 、 $- \frac{3}{4}$ 、 $\frac{9}{16} + \frac{4}{3} lo g 2 - \frac{2}{3} lo g 13$ だから、合計は

- \frac{1}{4} - \frac{2}{3} lo g 13

である。下の境界の積分は

\int_{0}^{1} (x - 4) d x + \int_{1}^{\frac{7}{6}} {f (x - 1) + 1} d x + \int_{\frac{7}{6}}^{2} f + \int_{2}^{3} (x - \frac{43}{13}) d x

で、順に $- \frac{7}{2}$ 、 $\frac{23}{144} - \frac{2}{3} lo g 2$ 、 $- \frac{95}{144} - \frac{2}{3} lo g 13 + 2 lo g 2$ 、 $- \frac{21}{26}$ だから、合計は

- 4 - \frac{21}{26} + \frac{4}{3} lo g 2 - \frac{2}{3} lo g 13

である。差をとると $lo g 13$ が消えて

S の面積 = (- \frac{1}{4}) - (- 4 - \frac{21}{26}) - \frac{4}{3} lo g 2 = \frac{15}{4} + \frac{21}{26} - \frac{4}{3} lo g 2

すなわち

\frac{237}{52} - \frac{4}{3} lo g 2 = 3.6334 \dots

である。

上の境界に接線 $y = x - \frac{7}{4}$ がそのまま現れるのは、 $g$ の最大値 $g (\frac{1}{2}) = - \frac{7}{4}$ が「 $y - x$ の最大値」だからである。(1) の接線は、傾き $1$ の直線のうち曲線の上から押さえるいちばん下のものにあたる。

上下の境界から区分求積すると $3.633496067$ 、 $\frac{237}{52} - \frac{4}{3} lo g 2 = 3.633496067$ で一致した。400万点のモンテカルロでも $3.6343$ になった。

「傾き $1$ の線分が動く」ので、 $y - x$ を見るのが決定打。 $y$ そのものを見ると場合分けが複雑になる。

下の境界で $y = f (x - 1) + 1$ と $y = f (x)$ が $x = \frac{7}{6}$ で入れ替わる。 $g (x) = g (x + 1)$ を解いて交点を出す。

$0 ≦ X ≦ 3$ の全体で切り口が1つの区間になる（ $g$ が連続だから）。領域が2つに分かれたりはしない。

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問題文について

(1)f(x)=−21​x−6x+14​ の曲線 y=f(x) の接線で、傾きが 1 かつ接点の x 座標が正であるものの方程式を求める

(2)P(x,f(x))、Q(x+1,f(x)+1) とし、x が 0≦x≦2 を動くとき、線分 PQ が通過してできる図形 S の概形を描き、S の面積を求める

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