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東北大学 2023年度 前期日程 理系
第1問 確率の解答・解説
非復元抽出・色の並びで数える・順番に依存する勝敗・余事象当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12
問題文について
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(1)赤玉4個と白玉5個の袋から、 と が から交互に1個ずつ取り出す（戻さない）。 が赤を取り出したら の勝ち、 が白を取り出したら の勝ちでそこで終了し、玉がなくなったら引き分けとするとき、引き分けとなる確率を求める
答
9個を全部取り出す順番を「色の並び」と見る。同じ色の玉は区別しないことにすると、並びは 通りで、どれも同様に確からしい。引き分けになる並びはたった1つしかない。
色の並びで考える。 9個すべてを取り出す順番を考え、赤がどの位置に来るかで色の並びを決める。赤の位置の選び方は
で、どれも同様に確からしい（玉を区別して 通りと数えても、同じ色の並びを与えるものは 通りずつで等しい）。ゲームは途中で終わることもあるが、「その先も全部取り出したとしたらどういう並びか」で数えれば、各並びがちょうど1つの結果に対応する。
は1,3,5,7,9番目、 は2,4,6,8番目を引く。
- の手番で赤が出たらそこで の勝ち
- の手番で白が出たらそこで の勝ち
引き分け。 最後まで誰も勝たないのは、奇数番目がすべて白、偶数番目がすべて赤のときである。奇数番目は5か所、偶数番目は4か所で、白が5個・赤が4個だからちょうど過不足なく配れる。そのような並びは
の1通りだけである。よって引き分けの確率は
である。
126通りを全列挙して勝敗を判定すると、引き分けはちょうど1通りだった。
途中で終わるゲームでも「9個全部の並び」で数えてよい。終わったあとの並びを勝手に決めても、結果は変わらないからである。
白が5個・赤が4個と、奇数番目5か所・偶数番目4か所がぴったり合う。ここが「1通りだけ」になる理由である。
(2)このゲームに が勝つ確率を求める
答
が 回目の手番で勝つ並びを数える。それまでの 個の色は「奇数番目は白・偶数番目は赤」と完全に決まり、 番目が赤、残りは自由なので、組合せ1つで数えられる。
が 回目の手番（ 番目）で勝つのは、次のときである。
- 番目（ か所）がすべて白
- 番目（ か所）がすべて赤
- 番目が赤
- それ以降は何でもよい
このとき赤は 個、白は 個が使われ、残り か所に赤 個と白 個を並べる。並べ方は 通りである。
- ：
- ：
- ：
- ：
- ：赤は4個しかなく、 番目で使い切るので 番目を赤にできない。 通り
合計すると 通りなので、求める確率は
である。
同じ数え方で が勝つのは 通りである。 でちょうど尽きるので、よい検算になる。確率で書くと が 、 が 、引き分けが で、先手の が有利である。
126通りの全列挙で の勝ちは76通り、 だった。
（ が9番目で勝つ）は赤の個数が足りず起こらない。機械的に と書き下すときに見落とさない。
「それ以降は何でもよい」の部分も数に入れる。勝敗が決まった時点で止まるが、並びとしては最後まで決めて数えている。
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