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東北大学　2023年度　前期日程　理系

第2問三角関数・極限の解答・解説

和積の公式・方程式の解の集合・ガウス記号・はさみうち当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $f (x) = sin 3 x + sin x$ について、 $f (x) = 0$ を満たす正の実数 $x$ のうち最小のものを求める

答 $x = \frac{π}{2}$

和積の公式で積の形にする。 $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ を使えば $2 sin 2 x cos x$ になり、零点がすぐ読める。

和積の公式から

f (x) = sin 3 x + sin x = 2 sin \frac{3 x + x}{2} cos \frac{3 x - x}{2} = 2 sin 2 x cos x

である。よって $f (x) = 0$ は

sin 2 x = 0 または cos x = 0

と同値である。それぞれの解は、整数 $k$ を使って

$sin 2 x = 0$ ： $2 x = k π$ 、つまり $x = \frac{k π}{2}$
$cos x = 0$ ： $x = \frac{π}{2} + k π = \frac{( 2 k + 1 ) π}{2}$

である。後者は前者（ $k$ が奇数の場合）に含まれるので、 $f (x) = 0$ の解全体は

x = \frac{k π}{2} (k は整数)

である。正で最小のものは $k = 1$ のときの

x = \frac{π}{2}

である。

y = f(x) = sin3x + sin x = 2 sin2x cos x。零点は x = kπ/2 で、π/2, 3π/2 などでは接するように 0 になる（符号が変わらない）。

$f (\frac{π}{2}) = sin \frac{3 π}{2} + sin \frac{π}{2} = - 1 + 1 = 0$ である。 $0 < x < \frac{π}{2}$ では $sin 2 x > 0$ 、 $cos x > 0$ なので $f > 0$ で、零点はない。

$cos x = 0$ の解は $sin 2 x = 0$ の解に含まれる。2つの解集合を足して重複を残さない。

$x = \frac{π}{2}$ は $sin 2 x$ と $cos x$ が同時に $0$ になる点で、グラフは $x$ 軸に接する。符号変化だけで零点を探すと見落とす。

(2)正の整数 $m$ に対し、 $f (x) = 0$ を満たす正の実数 $x$ のうち $m$ 以下のものの個数を $p (m)$ とするとき、 $m \to \infty lim \frac{p ( m )}{m}$ を求める

答 $\frac{2}{π}$

(1) より解は $\frac{π}{2}$ 間隔で等間隔に並ぶ。個数はガウス記号で書けるので、 $[t] ≦ t < [t] + 1$ ではさめば極限が出る。

(1) より $f (x) = 0$ の正の解は

\frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π, \dots

と $\frac{π}{2}$ 間隔で並ぶ。 $\frac{k π}{2} ≦ m$ は $k ≦ \frac{2 m}{π}$ と同値なので

p (m) = [\frac{2 m}{π}]

である（ $[]$ はガウス記号）。ガウス記号の定義から

\frac{2 m}{π} - 1 < p (m) ≦ \frac{2 m}{π}

であり、 $m > 0$ で割って

\frac{2}{π} - \frac{1}{m} < \frac{p ( m )}{m} ≦ \frac{2}{π}

となる。 $m \to \infty$ で両端とも $\frac{2}{π}$ に収束するから、はさみうちの原理より

m \to \infty lim \frac{p ( m )}{m} = \frac{2}{π}

である。

$\frac{2}{π} = 0.6366 \dots$ である。 $m = 1 0^{5}$ では $p (m) = 63661$ で $\frac{p ( m )}{m} = 0.63661$ と、確かに近づいている。

$m = 1000$ で $p (m) = 636$ 、 $\frac{p ( m )}{m} = 0.636$ で、 $\frac{2}{π} = 0.63662$ に近い。

「解が等間隔に並ぶ」ことを (1) で確定させておく。 $cos x = 0$ の解が別にあると思うと間隔を取り違える。

$[t] > t - 1$ の側の不等号は強い不等号。はさみうちには $≦$ と $<$ が混ざっていてよい。

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(1)f(x)=sin3x+sinx について、f(x)=0 を満たす正の実数 x のうち最小のものを求める

(2)正の整数 m に対し、f(x)=0 を満たす正の実数 x のうち m 以下のものの個数を p(m) とするとき、m→∞lim​mp(m)​ を求める

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