独自の解答・詳解
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全6問・無料

東北大学　2023年度　前期日程　理系

東北大理系 2023年度数学の解答・解説

全6問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　確率

非復元抽出・色の並びで数える・順番に依存する勝敗・余事象当サイトの体感難易度：標準

(1)赤玉4個と白玉5個の袋から、 $A$ と $B$ が $A$ から交互に1個ずつ取り出す（戻さない）。 $A$ が赤を取り出したら $A$ の勝ち、 $B$ が白を取り出したら $B$ の勝ちでそこで終了し、玉がなくなったら引き分けとするとき、引き分けとなる確率を求める

答 $\frac{1}{126}$

9個を全部取り出す順番を「色の並び」と見る。同じ色の玉は区別しないことにすると、並びは $_{9} C_{4} = 126$ 通りで、どれも同様に確からしい。引き分けになる並びはたった1つしかない。

色の並びで考える。 9個すべてを取り出す順番を考え、赤がどの位置に来るかで色の並びを決める。赤の位置の選び方は

_{9} C_{4} = 126 通り

で、どれも同様に確からしい（玉を区別して $9!$ 通りと数えても、同じ色の並びを与えるものは $4! 5!$ 通りずつで等しい）。ゲームは途中で終わることもあるが、「その先も全部取り出したとしたらどういう並びか」で数えれば、各並びがちょうど1つの結果に対応する。

$A$ は1,3,5,7,9番目、 $B$ は2,4,6,8番目を引く。

$A$ の手番で赤が出たらそこで $A$ の勝ち
$B$ の手番で白が出たらそこで $B$ の勝ち

引き分け。 最後まで誰も勝たないのは、奇数番目がすべて白、偶数番目がすべて赤のときである。奇数番目は5か所、偶数番目は4か所で、白が5個・赤が4個だからちょうど過不足なく配れる。そのような並びは

白赤白赤白赤白赤白

の1通りだけである。よって引き分けの確率は

\frac{1}{126}

である。

126通りを全列挙して勝敗を判定すると、引き分けはちょうど1通りだった。

途中で終わるゲームでも「9個全部の並び」で数えてよい。終わったあとの並びを勝手に決めても、結果は変わらないからである。

白が5個・赤が4個と、奇数番目5か所・偶数番目4か所がぴったり合う。ここが「1通りだけ」になる理由である。

(2)このゲームに $A$ が勝つ確率を求める

答 $\frac{38}{63}$

$A$ が $j$ 回目の手番で勝つ並びを数える。それまでの $2 j - 2$ 個の色は「奇数番目は白・偶数番目は赤」と完全に決まり、 $2 j - 1$ 番目が赤、残りは自由なので、組合せ1つで数えられる。

$A$ が $j$ 回目の手番（ $2 j - 1$ 番目）で勝つのは、次のときである。

$1, 3, \dots, 2 j - 3$ 番目（ $j - 1$ か所）がすべて白
$2, 4, \dots, 2 j - 2$ 番目（ $j - 1$ か所）がすべて赤
$2 j - 1$ 番目が赤
それ以降は何でもよい

このとき赤は $j$ 個、白は $j - 1$ 個が使われ、残り $9 - (2 j - 1) = 10 - 2 j$ か所に赤 $4 - j$ 個と白 $5 - (j - 1) = 6 - j$ 個を並べる。並べ方は $_{10 - 2 j} C_{4 - j}$ 通りである。

$j = 1$ ： $_{8} C_{3} = 56$
$j = 2$ ： $_{6} C_{2} = 15$
$j = 3$ ： $_{4} C_{1} = 4$
$j = 4$ ： $_{2} C_{0} = 1$
$j = 5$ ：赤は4個しかなく、 $2, 4, 6, 8$ 番目で使い切るので $9$ 番目を赤にできない。 $0$ 通り

合計すると $56 + 15 + 4 + 1 = 76$ 通りなので、求める確率は

\frac{76}{126} = \frac{38}{63}

である。

同じ数え方で $B$ が勝つのは $35 + 10 + 3 + 1 = 49$ 通りである。 $76 + 49 + 1 = 126$ でちょうど尽きるので、よい検算になる。確率で書くと $A$ が $\frac{38}{63}$ 、 $B$ が $\frac{7}{18}$ 、引き分けが $\frac{1}{126}$ で、先手の $A$ が有利である。

126通りの全列挙で $A$ の勝ちは76通り、 $\frac{76}{126} = \frac{38}{63}$ だった。

$j = 5$ （ $A$ が9番目で勝つ）は赤の個数が足りず起こらない。機械的に $j = 1, \dots, 5$ と書き下すときに見落とさない。

「それ以降は何でもよい」の部分も数に入れる。勝敗が決まった時点で止まるが、並びとしては最後まで決めて数えている。

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第2問　三角関数・極限

和積の公式・方程式の解の集合・ガウス記号・はさみうち当サイトの体感難易度：標準

(1) $f (x) = sin 3 x + sin x$ について、 $f (x) = 0$ を満たす正の実数 $x$ のうち最小のものを求める

答 $x = \frac{π}{2}$

和積の公式で積の形にする。 $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ を使えば $2 sin 2 x cos x$ になり、零点がすぐ読める。

和積の公式から

f (x) = sin 3 x + sin x = 2 sin \frac{3 x + x}{2} cos \frac{3 x - x}{2} = 2 sin 2 x cos x

である。よって $f (x) = 0$ は

sin 2 x = 0 または cos x = 0

と同値である。それぞれの解は、整数 $k$ を使って

$sin 2 x = 0$ ： $2 x = k π$ 、つまり $x = \frac{k π}{2}$
$cos x = 0$ ： $x = \frac{π}{2} + k π = \frac{( 2 k + 1 ) π}{2}$

である。後者は前者（ $k$ が奇数の場合）に含まれるので、 $f (x) = 0$ の解全体は

x = \frac{k π}{2} (k は整数)

である。正で最小のものは $k = 1$ のときの

x = \frac{π}{2}

である。

y = f(x) = sin3x + sin x = 2 sin2x cos x。零点は x = kπ/2 で、π/2, 3π/2 などでは接するように 0 になる（符号が変わらない）。

$f (\frac{π}{2}) = sin \frac{3 π}{2} + sin \frac{π}{2} = - 1 + 1 = 0$ である。 $0 < x < \frac{π}{2}$ では $sin 2 x > 0$ 、 $cos x > 0$ なので $f > 0$ で、零点はない。

$cos x = 0$ の解は $sin 2 x = 0$ の解に含まれる。2つの解集合を足して重複を残さない。

$x = \frac{π}{2}$ は $sin 2 x$ と $cos x$ が同時に $0$ になる点で、グラフは $x$ 軸に接する。符号変化だけで零点を探すと見落とす。

(2)正の整数 $m$ に対し、 $f (x) = 0$ を満たす正の実数 $x$ のうち $m$ 以下のものの個数を $p (m)$ とするとき、 $m \to \infty lim \frac{p ( m )}{m}$ を求める

答 $\frac{2}{π}$

(1) より解は $\frac{π}{2}$ 間隔で等間隔に並ぶ。個数はガウス記号で書けるので、 $[t] ≦ t < [t] + 1$ ではさめば極限が出る。

(1) より $f (x) = 0$ の正の解は

\frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π, \dots

と $\frac{π}{2}$ 間隔で並ぶ。 $\frac{k π}{2} ≦ m$ は $k ≦ \frac{2 m}{π}$ と同値なので

p (m) = [\frac{2 m}{π}]

である（ $[]$ はガウス記号）。ガウス記号の定義から

\frac{2 m}{π} - 1 < p (m) ≦ \frac{2 m}{π}

であり、 $m > 0$ で割って

\frac{2}{π} - \frac{1}{m} < \frac{p ( m )}{m} ≦ \frac{2}{π}

となる。 $m \to \infty$ で両端とも $\frac{2}{π}$ に収束するから、はさみうちの原理より

m \to \infty lim \frac{p ( m )}{m} = \frac{2}{π}

である。

$\frac{2}{π} = 0.6366 \dots$ である。 $m = 1 0^{5}$ では $p (m) = 63661$ で $\frac{p ( m )}{m} = 0.63661$ と、確かに近づいている。

$m = 1000$ で $p (m) = 636$ 、 $\frac{p ( m )}{m} = 0.636$ で、 $\frac{2}{π} = 0.63662$ に近い。

「解が等間隔に並ぶ」ことを (1) で確定させておく。 $cos x = 0$ の解が別にあると思うと間隔を取り違える。

$[t] > t - 1$ の側の不等号は強い不等号。はさみうちには $≦$ と $<$ が混ざっていてよい。

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第3問　数列

係数が n の漸化式・階差への帰着・部分分数分解・和が 0 になる条件当サイトの体感難易度：標準

(1) $a_{1} = s$ 、 $(n + 2) a_{n + 1} = n a_{n} + 2$ で定まる数列について、 $a_{n}$ を $n$ と $s$ で表す

答 $a_{n} = 1 + \frac{2 ( s - 1 )}{n ( n + 1 )}$

係数に $n$ が入っているので、両辺に $n + 1$ を掛けて $b_{n} = n (n + 1) a_{n}$ とおくと、階差型 $b_{n + 1} = b_{n} + 2 (n + 1)$ になる。

与式の両辺に $n + 1$ を掛けると

(n + 1) (n + 2) a_{n + 1} = n (n + 1) a_{n} + 2 (n + 1)

である。 $b_{n} = n (n + 1) a_{n}$ とおくと左辺は $b_{n + 1}$ だから

b_{n + 1} = b_{n} + 2 (n + 1)

となる。 $b_{1} = 1 \cdot 2 \cdot a_{1} = 2 s$ なので、 $n ≧ 2$ では

b_{n} = b_{1} + k = 1 \sum n - 1 2 (k + 1) = 2 s + 2 {\frac{n ( n + 1 )}{2} - 1} = 2 s - 2 + n (n + 1)

である（ $\sum_{k = 1}^{n - 1} (k + 1) = 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} - 1$ ）。これは $n = 1$ でも $b_{1} = 2 s$ と合う。よって

a_{n} = \frac{b _{n}}{n ( n + 1 )} = 1 + \frac{2 ( s - 1 )}{n ( n + 1 )}

である。

$s = 1$ なら $a_{n} = 1$ （定数列）になる。実際 $a_{n} = 1$ は $(n + 2) \cdot 1 = n \cdot 1 + 2$ をみたす。

$s = \frac{7}{3}$ では $a_{1}, \dots, a_{4} = \frac{7}{3}, \frac{13}{9}, \frac{11}{9}, \frac{17}{15}$ で、式の値と完全に一致した。

$(n + 2) a_{n + 1} = n a_{n} + 2$ のままでは等比にも階差にもならない。 $n + 1$ を掛けて $n (n + 1) a_{n}$ の形を作る。

$\sum_{k = 1}^{n - 1} 2 (k + 1)$ の添字をていねいに。 $k + 1$ は $2$ から $n$ まで動く。

(2)ある正の整数 $m$ に対して $n = 1 \sum m a_{n} = 0$ が成り立つとき、 $s$ を $m$ で表す

答 $s = \frac{1 - m}{2}$

(1) の式の $\frac{1}{n ( n + 1 )}$ を部分分数に分けると和が望遠鏡のように縮む。あとは $s$ について解くだけ。

(1) より

n = 1 \sum m a_{n} = m + 2 (s - 1) n = 1 \sum m \frac{1}{n ( n + 1 )}

である。 $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ なので

n = 1 \sum m \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1 - \frac{1}{m + 1} = \frac{m}{m + 1}

である。よって

n = 1 \sum m a_{n} = m + \frac{2 ( s - 1 ) m}{m + 1} = m {1 + \frac{2 ( s - 1 )}{m + 1}}

である。これが $0$ になるのは、 $m ≧ 1$ より

1 + \frac{2 ( s - 1 )}{m + 1} = 0, 2 (s - 1) = - (m + 1)

のときである。 $s$ について解いて

s = 1 - \frac{m + 1}{2} = \frac{1 - m}{2}

である。

$m = 1$ なら $s = 0$ で、 $a_{1} = 0$ だから確かに和は $0$ 。 $m = 2$ なら $s = - \frac{1}{2}$ で $a_{1} = - \frac{1}{2}$ 、 $a_{2} = \frac{1}{2}$ と打ち消し合う。

$m = 1$ から $7$ まで $s = \frac{1 - m}{2}$ として漸化式を回すと、和はいずれもちょうど $0$ になった。

$m$ でくくってから $m \neq = 0$ を使う。 $m$ は正の整数なので割ってよい。

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第4問　複素数平面

1の5乗根・因数分解・極形式・周期性当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a = \frac{5 - 1}{2}$ 、 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ とするとき、 $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ が $f (x)$ で割り切れることを示す

答 $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 = (x^{2} - a x + 1) (x^{2} - b x + 1)$ 、 $b = - \frac{1 + 5}{2}$

$x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ は係数が左右対称（相反式）なので、 $x^{2} - p x + 1$ の形2つの積に分かれる。係数比較で $p$ の2次方程式を作ると、その解の一方が $a$ になる。

実数 $b$ を使って $(x^{2} - a x + 1) (x^{2} - b x + 1)$ と書けないか調べる。展開すると

(x^{2} - a x + 1) (x^{2} - b x + 1) = x^{4} - (a + b) x^{3} + (2 + ab) x^{2} - (a + b) x + 1

である。これが $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ に一致する条件は

a + b = - 1, 2 + ab = 1 (すなわち ab = - 1)

である。したがって $a, b$ は2次方程式

t^{2} + t - 1 = 0

の2解である。この解は

t = \frac{- 1 \pm 5}{2}

で、一方が $\frac{5 - 1}{2} = a$ である。 $b = \frac{- 1 - 5}{2}$ とおけば $a + b = - 1$ 、 $ab = \frac{( 5 - 1 ) ( - 1 - 5 )}{4} = \frac{- 5 - 5 + 1 + 5}{4} = - 1$ が確かに成り立つ。よって

x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 = (x^{2} - a x + 1) (x^{2} - b x + 1)

と因数分解でき、 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ で割り切れる。 $■$

実際に筆算で割ってもよい。商は $x^{2} + \frac{1 + 5}{2} x + 1$ になる。

数値で割り算すると、商が $x^{2} + 1.618033989 x + 1$ 、余りが $0$ になった。

定数項が $1$ 、 $x^{3}$ と $x$ の係数が等しい（相反式）なので、 $x^{2} - p x + 1$ の形の積を試すのが自然である。

(2) $f (x) = 0$ の虚数解で虚部が正のものを $α$ とするとき、 $α$ を極形式で表す

答 $α = cos \frac{2 π}{5} + i sin \frac{2 π}{5}$

(1) より $α$ は $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0$ の解なので $α^{5} = 1$ である。極形式 $α = r (cos θ + i sin θ)$ とおき、ド・モアブルの定理で $r$ と $θ$ を決める。実部の符号で $θ$ が1つに決まる。

$α^{5} = 1$ 。 (1) より $α^{4} + α^{3} + α^{2} + α + 1 = 0$ である。両辺に $α - 1$ を掛けると

α^{5} - 1 = 0, α^{5} = 1

である。また $α$ は虚数なので $α \neq = 1$ である。

α は 1 の5乗根のうち、虚部が正で実部も正のもの。複素数平面の単位円を5等分した点のうち偏角 72° の点である。

極形式。 $α = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r > 0$ 、 $0 ≦ θ < 2 π$ ）とおく。ド・モアブルの定理から

α^{5} = r^{5} (cos 5 θ + i sin 5 θ) = 1

なので $r^{5} = 1$ かつ $5 θ = 2 k π$ （ $k$ は整数）である。 $r$ は正の実数で $r^{5} = 1$ をみたすから、与えられた事実より $r = 1$ である。また

θ = \frac{2 k π}{5} (k = 0, 1, 2, 3, 4)

である。 $α \neq = 1$ より $k \neq = 0$ 、虚部が正より $0 < θ < π$ だから $k = 1$ または $k = 2$ である。

$k$ を決める。 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ の2解の和は $a = \frac{5 - 1}{2} > 0$ で、2解は互いに共役だから、 $α$ の実部は $\frac{a}{2} > 0$ である。 $cos \frac{4 π}{5} < 0$ なので $k = 2$ は不適で

α = cos \frac{2 π}{5} + i sin \frac{2 π}{5}

である。

$∣ α ∣ = 1$ は、 $f$ の2解の積が $1$ で2解が共役（ $α \overset{α}{ˉ} = ∣ α ∣^{2} = 1$ ）であることからも分かる。ついでに $2 cos \frac{2 π}{5} = a$ 、つまり $cos 7 2^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}$ が得られる。

$α = cos 7 2^{\circ} + i sin 7 2^{\circ} = 0.309017 + 0.951057 i$ で $α^{2} - a α + 1 = 0$ になった。

$α^{5} = 1$ と「虚部が正」だけでは $k = 1, 2$ の2つが残る。実部の符号で絞る。

$r^{5} = 1$ から $r = 1$ を言うのに、問題が与えている「 $r^{5} = 1$ をみたす実数 $r$ は $r = 1$ のみ」を使う。

(3)(2) の $α$ に対して $α^{2023} + α^{- 2023}$ の値を求める

答 $- \frac{1 + 5}{2}$

$α^{5} = 1$ なので指数は $5$ で割った余りだけで決まる。 $2023 = 5 \cdot 404 + 3$ だから $α^{3} + α^{- 3}$ になり、 $t = α + α^{- 1} = a$ を使って $t^{3} - 3 t$ と書ける。

$2023 = 5 \cdot 404 + 3$ で $α^{5} = 1$ なので

α^{2023} = (α^{5})^{404} α^{3} = α^{3}, α^{- 2023} = α^{- 3}

である。よって求める値は $α^{3} + α^{- 3}$ である。

$f (α) = 0$ すなわち $α^{2} - a α + 1 = 0$ の両辺を $α (\neq = 0)$ で割ると

α + \frac{1}{α} = a

である。 $t = α + α^{- 1}$ とおくと

t^{3} = α^{3} + 3 α + \frac{3}{α} + \frac{1}{α ^{3}} = (α^{3} + α^{- 3}) + 3 t

なので

α^{3} + α^{- 3} = t^{3} - 3 t = a^{3} - 3 a

である。 $a = \frac{5 - 1}{2}$ だから

a^{2} = \frac{6 - 2 5}{4} = \frac{3 - 5}{2}, a^{3} = a \cdot a^{2} = \frac{( 5 - 1 ) ( 3 - 5 )}{4} = \frac{4 5 - 8}{4} = 5 - 2

である。よって

a^{3} - 3 a = 5 - 2 - \frac{3 ( 5 - 1 )}{2} = \frac{2 5 - 4 - 3 5 + 3}{2} = - \frac{1 + 5}{2}

である。すなわち

α^{2023} + α^{- 2023} = - \frac{1 + 5}{2}

である。

$α^{- 3} = α^{2}$ なので、求める値は $α^{3} + α^{2} = 2 cos \frac{6 π}{5} = 2 cos 21 6^{\circ} = - 1.618 \dots$ でもある。(1) の $b = - \frac{1 + 5}{2}$ とちょうど同じ値になっているのは偶然ではなく、 $α^{2}, α^{3}$ が $x^{2} - b x + 1 = 0$ の2解だからである。

数値では $α^{2023} + α^{- 2023} = - 1.6180339888$ で、 $- \frac{1 + 5}{2} = - 1.618033989$ と一致した。

$2023$ を $5$ で割った余りを使う。 $α^{5} = 1$ が (2) で手に入っている。

$(α + α^{- 1})^{3}$ の展開で中央の $3 (α + α^{- 1})$ を落とさない。

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第5問　空間ベクトル

内積の計算・平面への垂線の足・係数の和が1・平行の証明当サイトの体感難易度：やや難

(1)四面体 $OABC$ で $a = OA$ 等とおき、 $∠ AOB = 6 0^{\circ}$ 、 $∣ a ∣ = 2$ 、 $b = 3$ 、 $∣ c ∣ = 6$ 、 $b \cdot c = 3$ 、 $OC ⊥ AB$ とするとき、 $a \cdot b$ と $c \cdot a$ を求める

答 $a \cdot b = 3$ 、 $c \cdot a = 3$

$a \cdot b$ は定義そのもの。 $c \cdot a$ は「 $OC ⊥ AB$ 」を $c \cdot (b - a) = 0$ と書けばすぐ出る。

内積の定義から

a \cdot b = ∣ a ∣ b cos 6 0^{\circ} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3

である。また $AB = b - a$ で、 $OC ⊥ AB$ だから

c \cdot (b - a) = 0, c \cdot a = c \cdot b = 3

である。

条件をみたす座標を作ると、どちらの内積も $3.000000000$ になった。

(2)点 $C$ から3点 $O, A, B$ を含む平面に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、 $OH$ を $a$ と $b$ で表す

答 $OH = \frac{2}{3} a + \frac{1}{9} b$

$H$ は平面 $OAB$ 上なので $OH = s a + t b$ とおける。 $CH$ が平面に垂直、つまり $a$ とも $b$ とも垂直であることから連立1次方程式になる。

$OH = s a + t b$ とおく。 $CH = OH - c$ が平面 $OAB$ に垂直だから

(s a + t b - c) \cdot a = 0, (s a + t b - c) \cdot b = 0

である。 $∣ a ∣^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 9$ 、 $a \cdot b = 3$ 、 $c \cdot a = c \cdot b = 3$ を代入すると

4 s + 3 t = 3, 3 s + 9 t = 3

である。第1式を3倍して第2式を引くと $9 s = 6$ 、すなわち $s = \frac{2}{3}$ である。これを第1式に入れて

\frac{8}{3} + 3 t = 3, t = \frac{1}{9}

である。よって

OH = \frac{2}{3} a + \frac{1}{9} b

である。

座標で計算すると $(c - OH) \cdot a$ も $\cdot b$ も $0$ になった。

「平面に垂直」は「平面を張る2つのベクトルの両方と垂直」。 $a$ と $b$ の2本で条件を書く。

(3)点 $O$ から3点 $A, B, C$ を含む平面に下ろした垂線の足を $K$ とするとき、 $c$ と $HK$ が平行であることを示す

答 $OK = OH + \frac{2}{9} c$ なので $HK = \frac{2}{9} c$

「 $OH + k c$ が $K$ になるような $k$ がある」ことを示せばよい。そのためには、 $OH + k c$ が (i) 平面 $ABC$ 上にあり、(ii) $AB, AC$ と直交する、の2つを確かめる。

実数 $k$ に対し

p = OH + k c = \frac{2}{3} a + \frac{1}{9} b + k c

とおく。

$AB$ とは自動的に直交する。 $AB = b - a$ との内積は

p \cdot (b - a) = \frac{2}{3} (a \cdot b - ∣ a ∣^{2}) + \frac{1}{9} (b^{2} - a \cdot b) + k (c \cdot b - c \cdot a)

で、値を入れると

= \frac{2}{3} (3 - 4) + \frac{1}{9} (9 - 3) + k (3 - 3) = - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 0 = 0

である（ $k$ の項が消えるのは $OC ⊥ AB$ のおかげ）。つまり $k$ によらず $p ⊥ AB$ である。

$AC$ と直交する $k$ 。 $AC = c - a$ との内積は

p \cdot (c - a) = \frac{2}{3} (a \cdot c - ∣ a ∣^{2}) + \frac{1}{9} (b \cdot c - a \cdot b) + k (∣ c ∣^{2} - c \cdot a)

= \frac{2}{3} (3 - 4) + \frac{1}{9} (3 - 3) + k (6 - 3) = - \frac{2}{3} + 3 k

なので、 $k = \frac{2}{9}$ のときに $0$ になる。

平面 $ABC$ 上にあること。 $k = \frac{2}{9}$ のとき

p = \frac{2}{3} a + \frac{1}{9} b + \frac{2}{9} c

で、係数の和は

\frac{2}{3} + \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6 + 1 + 2}{9} = 1

である。 $a, b, c$ の係数の和が $1$ だから、 $p$ の終点は平面 $ABC$ 上にある。

結論。 $p$ の終点は平面 $ABC$ 上にあり、 $p$ は $AB$ とも $AC$ とも直交するので平面 $ABC$ に垂直である。これは $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足の条件そのものだから $p = OK$ である。したがって

HK = OK - OH = \frac{2}{9} c

となり、 $c \neq = 0$ だから $HK$ は $c$ に平行である。 $■$

「 $p ⊥ AB$ が $k$ によらず成り立つ」が効いている。もとの四面体で $OC ⊥ AB$ と $CH ⊥$ （平面 $OAB$ ）の2つがあるので、 $AB$ は平面 $OCH$ に垂直になる。 $H$ と $K$ がともにその平面上にあることが、平行性の正体である。

座標で $HK$ を計算すると、3成分とも $c$ の $0.2222 \dots = \frac{2}{9}$ 倍だった。

$OK$ を未知数3つでおくより、「 $OH + k c$ が条件をみたす」と当てて確かめるほうが短い。これで示すべき平行性も同時に出る。

平面 $ABC$ 上にあることは「係数の和が $1$ 」で言える。垂直条件だけでは足りない。

第5問だけのページ

第6問　微分法・積分法

接線・線分の通過領域・最大最小で境界を決める・対数を含む面積当サイトの体感難易度：難

(1) $f (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{4}{6 x + 1}$ の曲線 $y = f (x)$ の接線で、傾きが $1$ かつ接点の $x$ 座標が正であるものの方程式を求める

答 $y = x - \frac{7}{4}$

$f^{'} (x) = 1$ を解くだけ。分母の2乗が $16$ になるので、きれいな値が出る。

微分すると

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} + \frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}}

である（ $\frac{d}{d x} (- 4 (6 x + 1)^{- 1}) = 24 (6 x + 1)^{- 2}$ ）。 $f^{'} (x) = 1$ とすると

\frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{2}, (6 x + 1)^{2} = 16, 6 x + 1 = \pm 4

なので $x = \frac{1}{2}$ または $x = - \frac{5}{6}$ である。接点の $x$ 座標が正だから $x = \frac{1}{2}$ で

f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = - \frac{5}{4}

である。求める接線は

y = 1 \cdot (x - \frac{1}{2}) - \frac{5}{4} = x - \frac{7}{4}

である。

$f (0.5) = - 1.25$ で、 $0.5 - 1.75 = - 1.25$ と一致する。

(2) $P (x, f (x))$ 、 $Q (x + 1, f (x) + 1)$ とし、 $x$ が $0 ≦ x ≦ 2$ を動くとき、線分 $PQ$ が通過してできる図形 $S$ の概形を描き、 $S$ の面積を求める

答面積は $\frac{237}{52} - \frac{4}{3} lo g 2$ （ $= 3.6334 \dots$ ）

$PQ$ の傾きはつねに $1$ である。そこで $y - x$ に注目し、 $g (x) = f (x) - x$ とおくと、 $S$ の各縦断面が $g$ の最大・最小で書ける。 $g$ の増減を調べれば上下の境界が決まり、面積は積分で出る。

傾きは $1$ 。 $P, Q$ の $x$ 座標の差は $1$ 、 $y$ 座標の差も $1$ なので、 $PQ$ の傾きはつねに $1$ である。線分 $PQ$ 上の点は $0 ≦ u ≦ 1$ を使って

(x + u, f (x) + u)

と書ける。 $g (x) = f (x) - x$ とおくと、この点 $(X, Y)$ について

Y - X = f (x) - x = g (x), x = X - u

である。 $0 ≦ u ≦ 1$ と $0 ≦ x ≦ 2$ から、 $x$ の動ける範囲は

I (X) = [max (0, X - 1), min (2, X)]

である（ $0 ≦ X ≦ 3$ のとき空でない）。逆に $x \in I (X)$ なら $u = X - x \in [0, 1]$ がとれるので、点 $(X, X + g (x))$ は $S$ に属する。 $g$ は連続だから、 $S$ の $X$ における縦の切り口は

X + m (X) ≦ Y ≦ X + M (X)

という区間になる。ここで $M (X), m (X)$ は $I (X)$ 上での $g$ の最大・最小である。

$g$ の増減。 (1) の計算から

g^{'} (x) = f^{'} (x) - 1 = - \frac{3}{2} + \frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}}

で、 $g^{'} (x) = 0$ は $(6 x + 1)^{2} = 16$ 、 $0 ≦ x ≦ 2$ では $x = \frac{1}{2}$ だけである。 $0 ≦ x < \frac{1}{2}$ で $g^{'} > 0$ 、 $\frac{1}{2} < x ≦ 2$ で $g^{'} < 0$ だから、 $g$ は $[0, \frac{1}{2}]$ で増加、 $[\frac{1}{2}, 2]$ で減少する。値は

g (0) = - 4, g (\frac{1}{2}) = - \frac{7}{4}, g (2) = - 3 - \frac{4}{13} = - \frac{43}{13}

である。また $g (x) = g (x + 1)$ となる $x$ は

- \frac{4}{6 x + 1} = - \frac{3}{2} - \frac{4}{6 x + 7}, (6 x + 7) (6 x + 1) = 16

すなわち $12 x^{2} + 16 x - 3 = 0$ から $x = \frac{1}{6}$ （もう一方は負）である。このとき $g (\frac{1}{6}) = g (\frac{7}{6}) = - \frac{9}{4}$ である。

上下の境界。 $I (X)$ が $\frac{1}{2}$ を含むのは $\frac{1}{2} ≦ X ≦ \frac{3}{2}$ のときなので

$0 ≦ X ≦ \frac{1}{2}$ ： $I = [0, X]$ で $g$ は増加。 $M = g (X)$ 、 $m = g (0) = - 4$
$\frac{1}{2} ≦ X ≦ 1$ ： $M = g (\frac{1}{2}) = - \frac{7}{4}$ 、 $m = g (0) = - 4$
$1 ≦ X ≦ \frac{7}{6}$ ： $M = - \frac{7}{4}$ 、 $m = g (X - 1)$
$\frac{7}{6} ≦ X ≦ \frac{3}{2}$ ： $M = - \frac{7}{4}$ 、 $m = g (X)$
$\frac{3}{2} ≦ X ≦ 2$ ： $I \subset [\frac{1}{2}, 2]$ で $g$ は減少。 $M = g (X - 1)$ 、 $m = g (X)$
$2 ≦ X ≦ 3$ ： $I = [X - 1, 2]$ 。 $M = g (X - 1)$ 、 $m = g (2) = - \frac{43}{13}$

g(x) = f(x) - x のグラフ（0 ≦ x ≦ 2）。x = 1/2 で最大 -7/4 をとり、g(1/6) = g(7/6) = -9/4 で同じ値になる。

である。 $Y = X + g (X) = f (X)$ 、 $Y = X + g (X - 1) = f (X - 1) + 1$ に注意すると、境界は次のようになる。

上の境界： $y = f (x)$ （ $0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ ）→ 接線 $y = x - \frac{7}{4}$ （ $\frac{1}{2} ≦ x ≦ \frac{3}{2}$ ）→ $y = f (x - 1) + 1$ （ $\frac{3}{2} ≦ x ≦ 3$ ）
下の境界： $y = x - 4$ （ $0 ≦ x ≦ 1$ 、 $x = 0$ のときの線分）→ $y = f (x - 1) + 1$ （ $1 ≦ x ≦ \frac{7}{6}$ ）→ $y = f (x)$ （ $\frac{7}{6} ≦ x ≦ 2$ ）→ $y = x - \frac{43}{13}$ （ $2 ≦ x ≦ 3$ 、 $x = 2$ のときの線分）

線分 PQ の通過領域 S。上の境界は y = f(x)、傾き1の接線 y = x - 7/4、y = f(x-1)+1 の3つ、下の境界は x = 0 のときの線分、y = f(x-1)+1、y = f(x)、x = 2 のときの線分の4つからできている。

面積。 $F (x) = \int f (x) d x = - \frac{x ^{2}}{4} - \frac{2}{3} lo g (6 x + 1)$ とおく。上の境界の積分は

\int_{0}^{\frac{1}{2}} f + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (x - \frac{7}{4}) d x + \int_{\frac{3}{2}}^{3} {f (x - 1) + 1} d x

で、順に $- \frac{1}{16} - \frac{4}{3} lo g 2$ 、 $- \frac{3}{4}$ 、 $\frac{9}{16} + \frac{4}{3} lo g 2 - \frac{2}{3} lo g 13$ だから、合計は

- \frac{1}{4} - \frac{2}{3} lo g 13

である。下の境界の積分は

\int_{0}^{1} (x - 4) d x + \int_{1}^{\frac{7}{6}} {f (x - 1) + 1} d x + \int_{\frac{7}{6}}^{2} f + \int_{2}^{3} (x - \frac{43}{13}) d x

で、順に $- \frac{7}{2}$ 、 $\frac{23}{144} - \frac{2}{3} lo g 2$ 、 $- \frac{95}{144} - \frac{2}{3} lo g 13 + 2 lo g 2$ 、 $- \frac{21}{26}$ だから、合計は

- 4 - \frac{21}{26} + \frac{4}{3} lo g 2 - \frac{2}{3} lo g 13

である。差をとると $lo g 13$ が消えて

S の面積 = (- \frac{1}{4}) - (- 4 - \frac{21}{26}) - \frac{4}{3} lo g 2 = \frac{15}{4} + \frac{21}{26} - \frac{4}{3} lo g 2

すなわち

\frac{237}{52} - \frac{4}{3} lo g 2 = 3.6334 \dots

である。

上の境界に接線 $y = x - \frac{7}{4}$ がそのまま現れるのは、 $g$ の最大値 $g (\frac{1}{2}) = - \frac{7}{4}$ が「 $y - x$ の最大値」だからである。(1) の接線は、傾き $1$ の直線のうち曲線の上から押さえるいちばん下のものにあたる。

上下の境界から区分求積すると $3.633496067$ 、 $\frac{237}{52} - \frac{4}{3} lo g 2 = 3.633496067$ で一致した。400万点のモンテカルロでも $3.6343$ になった。

「傾き $1$ の線分が動く」ので、 $y - x$ を見るのが決定打。 $y$ そのものを見ると場合分けが複雑になる。

下の境界で $y = f (x - 1) + 1$ と $y = f (x)$ が $x = \frac{7}{6}$ で入れ替わる。 $g (x) = g (x + 1)$ を解いて交点を出す。

$0 ≦ X ≦ 3$ の全体で切り口が1つの区間になる（ $g$ が連続だから）。領域が2つに分かれたりはしない。

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問題文について

(2)このゲームに A が勝つ確率を求める

(1)f(x)=sin3x+sinx について、f(x)=0 を満たす正の実数 x のうち最小のものを求める

(2)正の整数 m に対し、f(x)=0 を満たす正の実数 x のうち m 以下のものの個数を p(m) とするとき、m→∞lim​mp(m)​ を求める

(1)a1​=s、(n+2)an+1​=nan​+2 で定まる数列について、an​ を n と s で表す

(2)ある正の整数 m に対して n=1∑m​an​=0 が成り立つとき、s を m で表す

(1)a=25​−1​、f(x)=x2−ax+1 とするとき、x4+x3+x2+x+1 が f(x) で割り切れることを示す

(2)f(x)=0 の虚数解で虚部が正のものを α とするとき、α を極形式で表す

(3)(2) の α に対して α2023+α−2023 の値を求める

(1)四面体 OABC で a=OA 等とおき、∠AOB=60∘、∣a∣=2、​b​=3、∣c∣=6​、b⋅c=3、OC⊥AB とするとき、a⋅b と c⋅a を求める

(2)点 C から3点 O,A,B を含む平面に下ろした垂線の足を H とするとき、OH を a と b で表す

(3)点 O から3点 A,B,C を含む平面に下ろした垂線の足を K とするとき、c と HK が平行であることを示す

(1)f(x)=−21​x−6x+14​ の曲線 y=f(x) の接線で、傾きが 1 かつ接点の x 座標が正であるものの方程式を求める

(2)P(x,f(x))、Q(x+1,f(x)+1) とし、x が 0≦x≦2 を動くとき、線分 PQ が通過してできる図形 S の概形を描き、S の面積を求める

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(2)正の整数 $m$ に対し、 $f (x) = 0$ を満たす正の実数 $x$ のうち $m$ 以下のものの個数を $p (m)$ とするとき、 $m \to \infty lim \frac{p ( m )}{m}$ を求める

(1) $a_{1} = s$ 、 $(n + 2) a_{n + 1} = n a_{n} + 2$ で定まる数列について、 $a_{n}$ を $n$ と $s$ で表す

(2)ある正の整数 $m$ に対して $n = 1 \sum m a_{n} = 0$ が成り立つとき、 $s$ を $m$ で表す

(1) $a = \frac{5 - 1}{2}$ 、 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ とするとき、 $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ が $f (x)$ で割り切れることを示す

(2) $f (x) = 0$ の虚数解で虚部が正のものを $α$ とするとき、 $α$ を極形式で表す

(3)(2) の $α$ に対して $α^{2023} + α^{- 2023}$ の値を求める

(1)四面体 $OABC$ で $a = OA$ 等とおき、 $∠ AOB = 6 0^{\circ}$ 、 $∣ a ∣ = 2$ 、 $b = 3$ 、 $∣ c ∣ = 6$ 、 $b \cdot c = 3$ 、 $OC ⊥ AB$ とするとき、 $a \cdot b$ と $c \cdot a$ を求める

(2)点 $C$ から3点 $O, A, B$ を含む平面に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、 $OH$ を $a$ と $b$ で表す

(3)点 $O$ から3点 $A, B, C$ を含む平面に下ろした垂線の足を $K$ とするとき、 $c$ と $HK$ が平行であることを示す

(1) $f (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{4}{6 x + 1}$ の曲線 $y = f (x)$ の接線で、傾きが $1$ かつ接点の $x$ 座標が正であるものの方程式を求める

(2) $P (x, f (x))$ 、 $Q (x + 1, f (x) + 1)$ とし、 $x$ が $0 ≦ x ≦ 2$ を動くとき、線分 $PQ$ が通過してできる図形 $S$ の概形を描き、 $S$ の面積を求める