東北大学　2023年度　前期日程　理系

第3問数列の解答・解説

係数が n の漸化式・階差への帰着・部分分数分解・和が 0 になる条件当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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答 $a_{n} = 1 + \frac{2 ( s - 1 )}{n ( n + 1 )}$

係数に $n$ が入っているので、両辺に $n + 1$ を掛けて $b_{n} = n (n + 1) a_{n}$ とおくと、階差型 $b_{n + 1} = b_{n} + 2 (n + 1)$ になる。

与式の両辺に $n + 1$ を掛けると

(n + 1) (n + 2) a_{n + 1} = n (n + 1) a_{n} + 2 (n + 1)

である。 $b_{n} = n (n + 1) a_{n}$ とおくと左辺は $b_{n + 1}$ だから

b_{n + 1} = b_{n} + 2 (n + 1)

となる。 $b_{1} = 1 \cdot 2 \cdot a_{1} = 2 s$ なので、 $n ≧ 2$ では

b_{n} = b_{1} + k = 1 \sum n - 1 2 (k + 1) = 2 s + 2 {\frac{n ( n + 1 )}{2} - 1} = 2 s - 2 + n (n + 1)

である（ $\sum_{k = 1}^{n - 1} (k + 1) = 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} - 1$ ）。これは $n = 1$ でも $b_{1} = 2 s$ と合う。よって

a_{n} = \frac{b _{n}}{n ( n + 1 )} = 1 + \frac{2 ( s - 1 )}{n ( n + 1 )}

である。

$s = 1$ なら $a_{n} = 1$ （定数列）になる。実際 $a_{n} = 1$ は $(n + 2) \cdot 1 = n \cdot 1 + 2$ をみたす。

$s = \frac{7}{3}$ では $a_{1}, \dots, a_{4} = \frac{7}{3}, \frac{13}{9}, \frac{11}{9}, \frac{17}{15}$ で、式の値と完全に一致した。

$(n + 2) a_{n + 1} = n a_{n} + 2$ のままでは等比にも階差にもならない。 $n + 1$ を掛けて $n (n + 1) a_{n}$ の形を作る。

$\sum_{k = 1}^{n - 1} 2 (k + 1)$ の添字をていねいに。 $k + 1$ は $2$ から $n$ まで動く。

答 $s = \frac{1 - m}{2}$

(1) の式の $\frac{1}{n ( n + 1 )}$ を部分分数に分けると和が望遠鏡のように縮む。あとは $s$ について解くだけ。

(1) より

n = 1 \sum m a_{n} = m + 2 (s - 1) n = 1 \sum m \frac{1}{n ( n + 1 )}

である。 $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ なので

n = 1 \sum m \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1 - \frac{1}{m + 1} = \frac{m}{m + 1}

である。よって

n = 1 \sum m a_{n} = m + \frac{2 ( s - 1 ) m}{m + 1} = m {1 + \frac{2 ( s - 1 )}{m + 1}}

である。これが $0$ になるのは、 $m ≧ 1$ より

1 + \frac{2 ( s - 1 )}{m + 1} = 0, 2 (s - 1) = - (m + 1)

のときである。 $s$ について解いて

s = 1 - \frac{m + 1}{2} = \frac{1 - m}{2}

である。

$m = 1$ なら $s = 0$ で、 $a_{1} = 0$ だから確かに和は $0$ 。 $m = 2$ なら $s = - \frac{1}{2}$ で $a_{1} = - \frac{1}{2}$ 、 $a_{2} = \frac{1}{2}$ と打ち消し合う。

$m = 1$ から $7$ まで $s = \frac{1 - m}{2}$ として漸化式を回すと、和はいずれもちょうど $0$ になった。

$m$ でくくってから $m \neq = 0$ を使う。 $m$ は正の整数なので割ってよい。

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