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東北大学　2023年度　前期日程　理系

第5問空間ベクトルの解答・解説

内積の計算・平面への垂線の足・係数の和が1・平行の証明当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)四面体 $OABC$ で $a = OA$ 等とおき、 $∠ AOB = 6 0^{\circ}$ 、 $∣ a ∣ = 2$ 、 $b = 3$ 、 $∣ c ∣ = 6$ 、 $b \cdot c = 3$ 、 $OC ⊥ AB$ とするとき、 $a \cdot b$ と $c \cdot a$ を求める

答 $a \cdot b = 3$ 、 $c \cdot a = 3$

$a \cdot b$ は定義そのもの。 $c \cdot a$ は「 $OC ⊥ AB$ 」を $c \cdot (b - a) = 0$ と書けばすぐ出る。

内積の定義から

a \cdot b = ∣ a ∣ b cos 6 0^{\circ} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3

である。また $AB = b - a$ で、 $OC ⊥ AB$ だから

c \cdot (b - a) = 0, c \cdot a = c \cdot b = 3

である。

条件をみたす座標を作ると、どちらの内積も $3.000000000$ になった。

(2)点 $C$ から3点 $O, A, B$ を含む平面に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、 $OH$ を $a$ と $b$ で表す

答 $OH = \frac{2}{3} a + \frac{1}{9} b$

$H$ は平面 $OAB$ 上なので $OH = s a + t b$ とおける。 $CH$ が平面に垂直、つまり $a$ とも $b$ とも垂直であることから連立1次方程式になる。

$OH = s a + t b$ とおく。 $CH = OH - c$ が平面 $OAB$ に垂直だから

(s a + t b - c) \cdot a = 0, (s a + t b - c) \cdot b = 0

である。 $∣ a ∣^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 9$ 、 $a \cdot b = 3$ 、 $c \cdot a = c \cdot b = 3$ を代入すると

4 s + 3 t = 3, 3 s + 9 t = 3

である。第1式を3倍して第2式を引くと $9 s = 6$ 、すなわち $s = \frac{2}{3}$ である。これを第1式に入れて

\frac{8}{3} + 3 t = 3, t = \frac{1}{9}

である。よって

OH = \frac{2}{3} a + \frac{1}{9} b

である。

座標で計算すると $(c - OH) \cdot a$ も $\cdot b$ も $0$ になった。

「平面に垂直」は「平面を張る2つのベクトルの両方と垂直」。 $a$ と $b$ の2本で条件を書く。

(3)点 $O$ から3点 $A, B, C$ を含む平面に下ろした垂線の足を $K$ とするとき、 $c$ と $HK$ が平行であることを示す

答 $OK = OH + \frac{2}{9} c$ なので $HK = \frac{2}{9} c$

「 $OH + k c$ が $K$ になるような $k$ がある」ことを示せばよい。そのためには、 $OH + k c$ が (i) 平面 $ABC$ 上にあり、(ii) $AB, AC$ と直交する、の2つを確かめる。

実数 $k$ に対し

p = OH + k c = \frac{2}{3} a + \frac{1}{9} b + k c

とおく。

$AB$ とは自動的に直交する。 $AB = b - a$ との内積は

p \cdot (b - a) = \frac{2}{3} (a \cdot b - ∣ a ∣^{2}) + \frac{1}{9} (b^{2} - a \cdot b) + k (c \cdot b - c \cdot a)

で、値を入れると

= \frac{2}{3} (3 - 4) + \frac{1}{9} (9 - 3) + k (3 - 3) = - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 0 = 0

である（ $k$ の項が消えるのは $OC ⊥ AB$ のおかげ）。つまり $k$ によらず $p ⊥ AB$ である。

$AC$ と直交する $k$ 。 $AC = c - a$ との内積は

p \cdot (c - a) = \frac{2}{3} (a \cdot c - ∣ a ∣^{2}) + \frac{1}{9} (b \cdot c - a \cdot b) + k (∣ c ∣^{2} - c \cdot a)

= \frac{2}{3} (3 - 4) + \frac{1}{9} (3 - 3) + k (6 - 3) = - \frac{2}{3} + 3 k

なので、 $k = \frac{2}{9}$ のときに $0$ になる。

平面 $ABC$ 上にあること。 $k = \frac{2}{9}$ のとき

p = \frac{2}{3} a + \frac{1}{9} b + \frac{2}{9} c

で、係数の和は

\frac{2}{3} + \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6 + 1 + 2}{9} = 1

である。 $a, b, c$ の係数の和が $1$ だから、 $p$ の終点は平面 $ABC$ 上にある。

結論。 $p$ の終点は平面 $ABC$ 上にあり、 $p$ は $AB$ とも $AC$ とも直交するので平面 $ABC$ に垂直である。これは $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足の条件そのものだから $p = OK$ である。したがって

HK = OK - OH = \frac{2}{9} c

となり、 $c \neq = 0$ だから $HK$ は $c$ に平行である。 $■$

「 $p ⊥ AB$ が $k$ によらず成り立つ」が効いている。もとの四面体で $OC ⊥ AB$ と $CH ⊥$ （平面 $OAB$ ）の2つがあるので、 $AB$ は平面 $OCH$ に垂直になる。 $H$ と $K$ がともにその平面上にあることが、平行性の正体である。

座標で $HK$ を計算すると、3成分とも $c$ の $0.2222 \dots = \frac{2}{9}$ 倍だった。

$OK$ を未知数3つでおくより、「 $OH + k c$ が条件をみたす」と当てて確かめるほうが短い。これで示すべき平行性も同時に出る。

平面 $ABC$ 上にあることは「係数の和が $1$ 」で言える。垂直条件だけでは足りない。

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問題文について

(1)四面体 OABC で a=OA 等とおき、∠AOB=60∘、∣a∣=2、​b​=3、∣c∣=6​、b⋅c=3、OC⊥AB とするとき、a⋅b と c⋅a を求める

(2)点 C から3点 O,A,B を含む平面に下ろした垂線の足を H とするとき、OH を a と b で表す

(3)点 O から3点 A,B,C を含む平面に下ろした垂線の足を K とするとき、c と HK が平行であることを示す

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(1)四面体 $OABC$ で $a = OA$ 等とおき、 $∠ AOB = 6 0^{\circ}$ 、 $∣ a ∣ = 2$ 、 $b = 3$ 、 $∣ c ∣ = 6$ 、 $b \cdot c = 3$ 、 $OC ⊥ AB$ とするとき、 $a \cdot b$ と $c \cdot a$ を求める

(2)点 $C$ から3点 $O, A, B$ を含む平面に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、 $OH$ を $a$ と $b$ で表す

(3)点 $O$ から3点 $A, B, C$ を含む平面に下ろした垂線の足を $K$ とするとき、 $c$ と $HK$ が平行であることを示す