第4問 複素数平面の解答・解説

実数 $b$ を使って $\left(x^2-ax+1\right)\left(x^2-bx+1\right)$ と書けないか調べる。展開すると

である。これが $x^4+x^3+x^2+x+1$ に一致する条件は

である。したがって $a,b$ は2次方程式

の2解である。この解は

で、一方が $\frac{\sqrt{5}-1}{2}=a$ である。$b=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ とおけば $a+b=-1$、$ab=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(-1-\sqrt{5}\right)}{4}=\frac{-\sqrt{5}-5+1+\sqrt{5}}{4}=-1$ が確かに成り立つ。よって

と因数分解でき、$f(x)=x^2-ax+1$ で割り切れる。$■$

実際に筆算で割ってもよい。商は $x^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1$ になる。

${\alpha }^5=1$。 (1) より ${\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1=0$ である。両辺に $\alpha -1$ を掛けると

である。また $\alpha$ は虚数なので $\alpha \ne 1$ である。

極形式。 $\alpha =r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$（$r>0$、$0\leqq \theta <2\pi$）とおく。ド・モアブルの定理から

なので $r^5=1$ かつ $5\theta =2k\pi$（$k$ は整数）である。$r$ は正の実数で $r^5=1$ をみたすから、与えられた事実より $r=1$ である。また

である。$\alpha \ne 1$ より $k\ne 0$、虚部が正より $0<\theta <\pi$ だから $k=1$ または $k=2$ である。

$k$ を決める。 $f(x)=x^2-ax+1$ の2解の和は $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}>0$ で、2解は互いに共役だから、$\alpha$ の実部は $\frac{a}{2}>0$ である。$\cos \frac{4\pi }{5}<0$ なので $k=2$ は不適で

である。

$\left|\alpha \right|=1$ は、$f$ の2解の積が $1$ で2解が共役（$\alpha \bar{\alpha }={\left|\alpha \right|}^2=1$）であることからも分かる。ついでに $2\cos \frac{2\pi }{5}=a$、つまり $\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ が得られる。

$2023=5\cdot 404+3$ で ${\alpha }^5=1$ なので

である。よって求める値は ${\alpha }^3+{\alpha }^{-3}$ である。

$f(\alpha )=0$ すなわち ${\alpha }^2-a\alpha +1=0$ の両辺を $\alpha (\ne 0)$ で割ると

である。$t=\alpha +{\alpha }^{-1}$ とおくと

なので

である。$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ だから

である。よって

である。すなわち

である。

${\alpha }^{-3}={\alpha }^2$ なので、求める値は ${\alpha }^3+{\alpha }^2=2\cos \frac{6\pi }{5}=2\cos 216^{\circ }=-1.618\cdots$ でもある。(1) の $b=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ とちょうど同じ値になっているのは偶然ではなく、${\alpha }^2,{\alpha }^3$ が $x^2-bx+1=0$ の2解だからである。