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東北大学　2020年度　前期日程　理系

第5問複素数平面の解答・解説

分母の実数化・軌跡が円になること・媒介変数表示・図示当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)実数 $t$ に対して $z = \frac{- 1}{t + i}$ とするとき、 $z$ の実部と虚部を $t$ で表す

答実部 $- \frac{t}{t ^{2} + 1}$ 、虚部 $\frac{1}{t ^{2} + 1}$

分母の共役を分母・分子に掛けて実数化する。

分母・分子に $t - i$ を掛けると

z = \frac{- 1}{t + i} = \frac{- ( t - i )}{( t + i ) ( t - i )} = \frac{- t + i}{t ^{2} + 1}

である（ $t$ は実数なので $t + i \neq = 0$ ）。よって

Re z = - \frac{t}{t ^{2} + 1}, Im z = \frac{1}{t ^{2} + 1}

である。

$t = - 0.5$ では $z = 0.4 + 0.8 i$ で、 $\frac{0.5}{1.25} = 0.4$ 、 $\frac{1}{1.25} = 0.8$ と一致した。

(2)絶対値 $z - \frac{i}{2}$ を求める

答 $\frac{1}{2}$ （ $t$ によらず一定）

(1) の成分で引き算して2乗和を計算する。分子が $(t^{2} + 1)^{2}$ にまとまる。

(1) より

z - \frac{i}{2} = - \frac{t}{t ^{2} + 1} + i (\frac{1}{t ^{2} + 1} - \frac{1}{2}) = - \frac{t}{t ^{2} + 1} + i \cdot \frac{1 - t ^{2}}{2 ( t ^{2} + 1 )}

である。絶対値の2乗は

z - \frac{i}{2}^{2} = \frac{t ^{2}}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{( 1 - t ^{2} ) ^{2}}{4 ( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{4 t ^{2} + ( 1 - t ^{2} ) ^{2}}{4 ( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

で、分子は

4 t^{2} + 1 - 2 t^{2} + t^{4} = t^{4} + 2 t^{2} + 1 = (t^{2} + 1)^{2}

である。よって

z - \frac{i}{2}^{2} = \frac{1}{4}, z - \frac{i}{2} = \frac{1}{2}

である。

つまり $z$ は、 $t$ が何であっても中心 $\frac{i}{2}$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円の上にある。

$t = - 1, - 0.5, 0, 0.5, 1, 3$ のいずれでも $z - \frac{i}{2} = 0.500000000$ だった。

(3)実数 $t$ が $- 1 ≦ t ≦ 1$ の範囲を動くとき、点 $z$ がどのような図形を描くかを複素数平面上に図示する

答中心 $\frac{i}{2}$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円の上半分（ $Im z ≧ \frac{1}{2}$ の部分）。両端 $\pm \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ を含む

(2) より $z$ は円周上にある。あとはどの範囲を動くかで、偏角を調べる。 $t = tan α$ とおくと半角の形になって一目で分かる。

(2) より $z$ は中心 $\frac{i}{2}$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円 $K$ の上にある。 $z - \frac{i}{2} = \frac{1}{2} (cos φ + i sin φ)$ とおくと、(2) の計算から

cos φ = \frac{- 2 t}{t ^{2} + 1}, sin φ = \frac{1 - t ^{2}}{t ^{2} + 1}

である。 $t = tan α$ （ $- \frac{π}{4} ≦ α ≦ \frac{π}{4}$ が $- 1 ≦ t ≦ 1$ に対応）とおくと、2倍角の公式から

\frac{2 t}{1 + t ^{2}} = sin 2 α, \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = cos 2 α

なので

cos φ = - sin 2 α = cos (\frac{π}{2} + 2 α), sin φ = cos 2 α = sin (\frac{π}{2} + 2 α)

である。よって $φ = \frac{π}{2} + 2 α$ ととれる。 $- \frac{π}{4} ≦ α ≦ \frac{π}{4}$ では

0 ≦ φ ≦ π

であり、 $φ$ は $α$ とともに連続に増加する。したがって $z$ は円 $K$ の上半分（ $φ$ が $0$ から $π$ までの部分）をちょうど1回描く。端点は

t = - 1 (φ = 0) : z = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, t = 1 (φ = π) : z = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

で、 $t = 0$ （ $φ = \frac{π}{2}$ ）では $z = i$ である。図示すると次のようになる。

太い弧が答え。中心 i/2、半径 1/2 の円の上半分で、両端 1/2 + i/2 と -1/2 + i/2 を含む。原点（t → ±∞ に対応）は含まない。

$t = - 1, 0, 1$ での $z$ はそれぞれ $\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ 、 $i$ 、 $- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ で、弧の右端・頂点・左端にあたった。

円周全体ではなく上半分だけ。 $t$ の範囲が偏角の範囲を決める。

$Im z = \frac{1}{t ^{2} + 1}$ は $- 1 ≦ t ≦ 1$ で $\frac{1}{2} ≦ Im z ≦ 1$ 。これを見ても「上半分」が分かる。

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問題文について

(1)実数 t に対して z=t+i−1​ とするとき、z の実部と虚部を t で表す

(2)絶対値 ​z−2i​​ を求める

(3)実数 t が −1≦t≦1 の範囲を動くとき、点 z がどのような図形を描くかを複素数平面上に図示する

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