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全6問・無料

東北大学　2020年度　前期日程　理系

東北大理系 2020年度数学の解答・解説

全6問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　図形と計量

余弦定理・座標の導入・2次関数の最小・垂線の足当サイトの体感難易度：標準

(1) $AB = 1$ 、 $AC = 1$ 、 $BC = \frac{1}{2}$ の $△ ABC$ について、 $∠ BAC = θ$ とするとき $cos θ, sin θ$ を求める

答 $cos θ = \frac{7}{8}$ 、 $sin θ = \frac{15}{8}$

3辺が分かっているので余弦定理そのまま。 $sin$ は $sin^{2} + cos^{2} = 1$ と $0 < θ < π$ から決まる。

余弦定理から

BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 AB \cdot AC cos θ

すなわち $\frac{1}{4} = 1 + 1 - 2 cos θ$ なので

2 cos θ = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}, cos θ = \frac{7}{8}

である。 $0 < θ < π$ より $sin θ > 0$ だから

sin θ = 1 - (\frac{7}{8})^{2} = \frac{15}{64} = \frac{15}{8}

である。

$A (0, 0)$ 、 $C (1, 0)$ 、 $B (\frac{7}{8}, \frac{15}{8})$ とすると $AB = AC = 1$ 、 $BC = 0.5$ になった。

(2) $B$ から辺 $AC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし、 $0 < s < 1$ の実数 $s$ に対し辺 $BH$ を $s : (1 - s)$ に内分する点を $P$ とするとき、 $AP^{2} + BP^{2} + CP^{2}$ の最小値とそのときの $s$ を求める

答最小値 $\frac{15}{16}$ （ $s = \frac{2}{3}$ のとき）

$A$ を原点、 $AC$ を $x$ 軸にとって座標を入れる。 $P$ は $BH$ 上なので $x$ 座標が固定され、 $y$ 座標だけが動く1変数の2次関数になる。

A を原点、AC を x 軸にとったところ。B の座標は (cosθ, sinθ) = (7/8, √15/8) で、H はその真下。P は BH 上を動く。

$A$ を原点、半直線 $AC$ を $x$ 軸の正の向きにとる。 $AC = 1$ より $C (1, 0)$ で、 $AB = 1$ 、 $∠ BAC = θ$ より

B (cos θ, sin θ) = (\frac{7}{8}, \frac{15}{8})

である。 $H$ は $B$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足なので $H (\frac{7}{8}, 0)$ である。

$P$ は $BH$ を $s : (1 - s)$ に内分するので、 $P$ の $x$ 座標は $\frac{7}{8}$ のままで、 $y$ 座標は

u = \frac{15}{8} (1 - s)

である。 $0 < s < 1$ より $0 < u < \frac{15}{8}$ である。このとき

AP^{2} = \frac{49}{64} + u^{2}, BP^{2} = (\frac{15}{8} - u)^{2}, CP^{2} = \frac{1}{64} + u^{2}

である（ $CP$ の $x$ 方向の差は $\frac{7}{8} - 1 = - \frac{1}{8}$ ）。足し合わせると

AP^{2} + BP^{2} + CP^{2} = \frac{50}{64} + \frac{15}{64} + 3 u^{2} - \frac{15}{4} u = 3 u^{2} - \frac{15}{4} u + \frac{65}{64}

である。 $u$ の2次関数として平方完成する。 $u$ の係数 $- \frac{15}{4}$ を $2 \cdot 3$ で割ると $- \frac{15}{24}$ なので

= 3 (u - \frac{15}{24})^{2} + \frac{65}{64} - 3 (\frac{15}{24})^{2}

であり、 $3 (\frac{15}{24})^{2} = 3 \cdot \frac{15}{576} = \frac{45}{576} = \frac{5}{64}$ だから、定数項は

\frac{65}{64} - \frac{5}{64} = \frac{60}{64} = \frac{15}{16}

である。頂点 $u = \frac{15}{24}$ は $0 < u < \frac{15}{8}$ の内部にあるので、ここで最小値 $\frac{15}{16}$ をとる。このとき

\frac{15}{8} (1 - s) = \frac{15}{24}, 1 - s = \frac{1}{3}, s = \frac{2}{3}

である。よって最小値は $\frac{15}{16}$ で、 $s = \frac{2}{3}$ のときである。

$AP^{2} + BP^{2} + CP^{2}$ は重心で最小になる。重心の $y$ 座標は $\frac{0 + \frac{15}{8} + 0}{3} = \frac{15}{24}$ で、 $P$ がちょうどその高さに来るときが答えである（ $x$ 座標は $\frac{7}{8}$ に固定されているが、和が $x$ と $y$ で分離するので $y$ だけ最適にすればよい）。

$s$ を $1 0^{- 5}$ 刻みで動かすと、最小は $s = 0.66667$ での $0.937500000$ だった。

$P$ は線分 $BH$ 上にあるので $x$ 座標は動かない。動くのは $y$ だけで、1変数の2次関数になる。

$s : (1 - s)$ の内分なので、 $B$ 側から測って $BP : PH = s : (1 - s)$ 。 $y$ 座標は $(1 - s)$ 倍になる。

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第2問　図形と方程式

円と直線の距離・共有点の個数・連立方程式・集合の要素数当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a \neq = 0$ の実数とし、円 $C : x^{2} - 2 a x + y^{2} - 4 y + 4 = 0$ 、直線 $L : - 4 x + 3 y + a = 0$ 、直線 $M : 3 x + 4 y - 7 a = 0$ を考えるとき、 $L$ と $M$ の交点が $C$ 上にあるような $a$ を求める

答 $a = 1$

まず $L$ と $M$ を連立して交点を求める。係数が $(- 4, 3)$ と $(3, 4)$ で直交しているので、消去もきれいに進む。

$C$ を平方完成すると

(x - a)^{2} + (y - 2)^{2} = a^{2}

なので、中心 $(a, 2)$ 、半径 $∣ a ∣$ の円である（ $a \neq = 0$ なので半径は正）。

$L, M$ を連立する。

{- 4 x + 3 y = - a 3 x + 4 y = 7 a

上を $4$ 倍、下を $3$ 倍して引くと $- 25 x = - 25 a$ 、つまり $x = a$ である。上に戻して $- 4 a + 3 y = - a$ より $y = a$ だから、交点は

(a, a)

である。これが $C$ 上にある条件は

(a - a)^{2} + (a - 2)^{2} = a^{2}, a^{2} - 4 a + 4 = a^{2}

すなわち $- 4 a + 4 = 0$ で、 $a = 1$ である。

$L$ の法線ベクトルは $(- 4, 3)$ 、 $M$ の法線ベクトルは $(3, 4)$ で、内積は $- 12 + 12 = 0$ 。つまり $L ⊥ M$ である。(3) でこの事実は直接は使わないが、図を描くときの見当になる。

$a = 1$ のとき交点は $(1, 1)$ で、 $C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ に代入すると $0 + 1 = 1$ で成り立つ。

(2) $C$ と $L$ が異なる2つの共有点をもつような $a$ の範囲を求める

答 $a < - 3$ または $a > \frac{3}{4}$

中心から直線までの距離が半径より小さい、という条件を書く。両辺とも $0$ 以上なので2乗して比べられる。

中心 $(a, 2)$ と $L : - 4 x + 3 y + a = 0$ の距離は

\frac{∣ - 4 a + 6 + a ∣}{( - 4 ) ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{∣ - 3 a + 6 ∣}{5} = \frac{3 ∣ a - 2 ∣}{5}

である。異なる2点で交わる条件は、これが半径 $∣ a ∣$ より小さいことなので

\frac{3 ∣ a - 2 ∣}{5} < ∣ a ∣, 9 (a - 2)^{2} < 25 a^{2}

である（両辺 $0$ 以上なので2乗してよい）。展開して整理すると

9 a^{2} - 36 a + 36 < 25 a^{2}, 16 a^{2} + 36 a - 36 > 0, 4 a^{2} + 9 a - 9 > 0

である。左辺は $(4 a - 3) (a + 3)$ と因数分解できるので

(4 a - 3) (a + 3) > 0, a < - 3 または a > \frac{3}{4}

である（いずれも $a \neq = 0$ を満たす）。

$a = 1$ では距離 $\frac{3}{5} < 1$ で2点、 $a = \frac{1}{2}$ では $\frac{3 \cdot 1.5}{5} = 0.9 > 0.5$ で共有点なしだった。

半径は $a$ ではなく $∣ a ∣$ 。 $a < 0$ の場合を落とさない。

(3)集合 ${P ∣ P は C と L の共有点} \cup {P ∣ P は C と M の共有点}$ の要素の個数が $3$ となる $a$ をすべて求める

答 $a = - 8, \frac{8}{9}, 1$

$C$ と $M$ についても (2) と同じ計算をする。2つの集合が共通の要素をもつのは、その点が $L$ と $M$ の交点 $(a, a)$ でもあるときに限るので、(1) から $a = 1$ のときだけ。それ以外は個数を足すだけである。

a = 1 のとき。L と M は直交し、その交点 (1, 1) が円 C 上にある。C は L とも M とも2点で交わるが、そのうち1点が共通なので和集合は3個になる。

$C$ と $M$ 。 中心 $(a, 2)$ と $M : 3 x + 4 y - 7 a = 0$ の距離は

\frac{∣ 3 a + 8 - 7 a ∣}{5} = \frac{4 ∣ a - 2 ∣}{5}

である。これと半径 $∣ a ∣$ を比べると

$16 (a - 2)^{2} < 25 a^{2} ⟺ 9 a^{2} + 64 a - 64 > 0 ⟺ (9 a - 8) (a + 8) > 0 ⟺ a < - 8$ または $a > \frac{8}{9}$ ：2点
$(9 a - 8) (a + 8) = 0 ⟺ a = - 8$ または $a = \frac{8}{9}$ ：1点（接する）
それ以外：0点

である。(2) と同様に $C$ と $L$ については

$a < - 3$ または $a > \frac{3}{4}$ ：2点
$a = - 3$ または $a = \frac{3}{4}$ ：1点
それ以外：0点

である。

重なりの有無。 2つの集合が共通の点をもつなら、その点は $L$ 上にも $M$ 上にもあるので $L$ と $M$ の交点 $(a, a)$ であり、かつ $C$ 上にある。(1) よりそれは $a = 1$ のときだけである。

$a \neq = 1$ のとき。 2つの集合は交わらないので、要素数は $∣ C \cap L ∣ + ∣ C \cap M ∣$ である。これが $3$ になるのは $(2, 1)$ か $(1, 2)$ の組み合わせのときである。

$∣ C \cap L ∣ = 1$ は $a = - 3, \frac{3}{4}$ 。このとき $∣ C \cap M ∣ = 2$ には $a < - 8$ か $a > \frac{8}{9}$ が必要だが、 $- 3$ も $\frac{3}{4}$ も当てはまらない。不適
$∣ C \cap M ∣ = 1$ は $a = - 8, \frac{8}{9}$ 。 $a = - 8$ は $a < - 3$ を満たし、 $a = \frac{8}{9}$ は $\frac{8}{9} > \frac{3}{4}$ を満たすので、どちらも $∣ C \cap L ∣ = 2$ 。適する

$a = 1$ のとき。 距離は $L$ について $\frac{3}{5}$ 、 $M$ について $\frac{4}{5}$ で、どちらも半径 $1$ より小さいので $∣ C \cap L ∣ = ∣ C \cap M ∣ = 2$ である。共通の点 $(1, 1)$ が1つあるので、和集合の要素数は

2 + 2 - 1 = 3

で、条件を満たす。

以上より、求める $a$ は

a = - 8, \frac{8}{9}, 1

である。

$a = - 8$ では $L$ との距離 $6 < 8$ （2点）、 $M$ との距離 $8 = 8$ （接する）で和集合3個。 $a = \frac{8}{9}$ では $\frac{2}{3} < \frac{8}{9}$ （2点）と $\frac{8}{9} = \frac{8}{9}$ （接する）で3個だった。

$a = 1$ の「2点ずつだが1点が共通」を見落としやすい。(1) はそのための誘導である。

$∣ C \cap L ∣ = 1$ の2つの値がいずれも $∣ C \cap M ∣ = 2$ の条件を満たさないことを、きちんと確認する。

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第3問　整数

数学的帰納法・指数の大小・小さい場合の調べ上げ・不定方程式当サイトの体感難易度：標準

(1) $n ≧ 3$ のとき $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つことを示す

答 $n = 3$ で $25 < 27$ 。帰納法の step は $3 \cdot 3^{n} > 3 (2^{n} + n^{2} + 8)$ と $2 \cdot 2^{n} + (n + 1)^{2} + 8 ≦ 3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24$ から

数学的帰納法。 $3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}$ と $3$ 倍になるのに対し、左辺は $2^{n}$ が $2$ 倍、 $n^{2}$ が少し増えるだけなので、余裕をもって押さえられる。

$n = 3$ のとき $2^{3} + 3^{2} + 8 = 25$ 、 $3^{3} = 27$ で $25 < 27$ ✓。

$n ≧ 3$ で $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つと仮定する。このとき

3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n} > 3 (2^{n} + n^{2} + 8) = 3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24

である。一方、示したい式の左辺は

2^{n + 1} + (n + 1)^{2} + 8 = 2 \cdot 2^{n} + n^{2} + 2 n + 9

である。両者の差をとると

(3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24) - (2 \cdot 2^{n} + n^{2} + 2 n + 9) = 2^{n} + 2 n^{2} - 2 n + 15

で、 $2^{n} > 0$ 、 $2 n^{2} - 2 n = 2 n (n - 1) ≧ 0$ （ $n ≧ 1$ ）だからこれは正である。よって

2^{n + 1} + (n + 1)^{2} + 8 < 3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24 < 3^{n + 1}

となり、 $n + 1$ でも成り立つ。数学的帰納法より $n ≧ 3$ のすべてで成り立つ。 $■$

$n = 3, \dots, 11$ で数値を比べると、差 $3^{n} - (2^{n} + n^{2} + 8)$ は $2, 41, 178, 621, 2002, 6233, 19082, 57917, 174970$ とどんどん開いた。

$3^{n + 1} > 3 (左辺)$ という「3倍の余裕」を作ってから比べる。直接 $2^{n + 1} + \dots < 3^{n + 1}$ を示そうとすると手がかりが少ない。

(2)不等式 $2^{n} + n^{2} + 8 ≧ 3^{n}$ を満たす $n$ をすべて求める

答 $n = 1, 2$

(1) より $n ≧ 3$ はすべて不適。残る $n = 1, 2$ を直接確かめるだけ。

(1) より $n ≧ 3$ では $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ なので、条件を満たさない。残りを調べる。

$n = 1$ ： $2 + 1 + 8 = 11 ≧ 3$ ✓
$n = 2$ ： $4 + 4 + 8 = 16 ≧ 9$ ✓

よって求める $n$ は

n = 1, 2

である。

$n = 1, \dots, 11$ を計算すると、 $≧$ になるのは $n = 1, 2$ だけだった。

(3)等式 $2^{n} + n^{2} + 8 = 3^{n} + an + b$ を満たす $a, b, n$ （ $a, b$ は $0$ 以上の整数、 $n$ は正の整数）の組をすべて求める

答 $n = 1$ で $a + b = 8$ となる9組、 $n = 2$ で $2 a + b = 7$ となる4組、計13組

$a, b ≧ 0$ なので右辺の $an + b$ は $0$ 以上。したがって $2^{n} + n^{2} + 8 - 3^{n} ≧ 0$ が必要で、(2) から $n$ が $1$ か $2$ に限られる。

$D (n) = 2^{n} + n^{2} + 8 - 3^{n}$ とおくと、条件は

D (n) = an + b

である。 $a, b ≧ 0$ 、 $n ≧ 1$ より右辺は $0$ 以上だから $D (n) ≧ 0$ が必要で、(2) より $n = 1$ または $n = 2$ である。

$n = 1$ 。 $D (1) = 2 + 1 + 8 - 3 = 8$ なので $a + b = 8$ である。 $a, b ≧ 0$ の整数だから

(a, b) = (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0)

の9組である。

$n = 2$ 。 $D (2) = 4 + 4 + 8 - 9 = 7$ なので $2 a + b = 7$ である。 $b = 7 - 2 a ≧ 0$ より $a ≦ 3$ だから

(a, b) = (0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)

の4組である。

以上、求める組 $(a, b, n)$ は合わせて13組である。

$a, b$ が $0$ 以上という条件が、 $n$ を2通りに絞る決め手になっている。もし $a, b$ が負でもよければ、どの $n$ でも解が作れてしまう。

全探索すると $n = 1$ で9組、 $n = 2$ で4組の計13組だった。

$a = 0$ や $b = 0$ も「 $0$ 以上の整数」なので含める。

$n$ が先に決まり、そのあと $a, b$ の組を数える、という順番で考える。

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第4問　確率

復元と非復元の混在・状態の推移・負の二項分布・比をとって最大を探す当サイトの体感難易度：やや難

(1)白玉3個・赤玉2個の計5個が入った箱から無作為に玉を1個取り出し、硬貨を投げて表なら手元に残し裏なら箱に戻す試行を行う（箱が空になったら停止）。2回の試行の結果、手元に白玉が2個ある確率を求める

答 $\frac{3}{40}$

2回とも「白を引いて表」であればよい。1回目で白が1個減るので、2回目の箱の中身が変わることに注意する。

手元に白が2個あるには、2回とも「白玉を引き、かつ表が出る」必要がある。

1回目：箱は白3・赤2の5個。白を引く確率 $\frac{3}{5}$ 、表が出る確率 $\frac{1}{2}$
2回目：1回目で白が1個減っているので箱は白2・赤2の4個。白を引く確率 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 、表が出る確率 $\frac{1}{2}$

よって求める確率は

\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{40}

である。

状態を分数のまま遷移させると $\frac{3}{40} = 0.075$ だった。

表が出たら玉は箱に戻らないので、2回目の箱の中身が変わる。確率を使い回さない。

(2)3回の試行の結果、手元の玉が白玉1個・赤玉1個の計2個となる確率を求める

答 $\frac{9}{40}$

3回のうち裏が1回、表が2回で、残った2個が白1・赤1。裏が何回目かで3つに分け、さらに白と赤の順で2つに分ける。

3回のうち表が2回（白1個と赤1個を残す）、裏が1回である。裏が何回目かで場合分けする。玉を戻す回は箱の中身を変えないことに注意する。

裏が1回目。 1回目はどの玉でもよく裏（確率 $\frac{1}{2}$ ）。箱は白3赤2のまま。2・3回目で白と赤を1個ずつ残すので

\frac{1}{2} (\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{3}{40} + \frac{3}{40}) = \frac{3}{40}

である（白→赤の順と赤→白の順）。

裏が2回目。 1回目に白（または赤）を表で残し、2回目は裏、3回目に赤（または白）を表で残す。

\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{80} + \frac{3}{80} = \frac{3}{40}

である。

裏が3回目。 1・2回目で白と赤を1個ずつ残し、3回目が裏。

(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{40}

である。3つを足して

\frac{3}{40} \times 3 = \frac{9}{40}

である。

3つの場合がすべて $\frac{3}{40}$ になるのは偶然ではない。裏の回は箱の中身を変えないので、「表が出た2回がどの玉だったか」の確率が裏の位置によらないからである。

状態を分数のまま遷移させると $\frac{9}{40} = 0.225$ だった。

裏が出た回も「玉を引く」ので、どの玉を引いたかで確率は分かれない（戻すので状態は同じ）。まとめて確率 $1 \cdot \frac{1}{2}$ と扱える。

表が出た2回の順（白が先か赤が先か）で箱の中身が変わるので、両方を計算する。

(3) $n$ を $5$ 以上の整数とするとき、ちょうど $n$ 回目で試行が停止する確率 $p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{_{n - 1} C _{4}}{2 ^{n}}$

停止するのは5個目の玉を手元に残した瞬間。どの玉を引いたかは停止のタイミングに関係しないので、「表が出た回数」だけを見ればよく、ふつうの反復試行になる。

箱の玉が減るのは「表が出た」ときだけで、どの色の玉を引いたかは関係しない。したがって、 $k$ 回の試行のあとに箱から減った玉の個数は「表が出た回数」に等しい。

ちょうど $n$ 回目で停止するのは、 $n$ 回目が表（5個目を残す）で、かつ最初の $n - 1$ 回のうち表がちょうど4回のときである。表・裏はそれぞれ確率 $\frac{1}{2}$ で独立だから

p_{n} =_{n - 1} C_{4} (\frac{1}{2})^{4} (\frac{1}{2})^{n - 5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{_{n - 1} C _{4}}{2 ^{n}}

である。

$n = 5$ なら $\frac{_{4} C _{4}}{2 ^{5}} = \frac{1}{32}$ で、これは5回とも表が出る確率 $(\frac{1}{2})^{5}$ と一致する。

状態を分数のまま遷移させて停止確率を求めると $p_{5}, \dots, p_{10} = \frac{1}{32}, \frac{5}{64}, \frac{15}{128}, \frac{35}{256}, \frac{35}{256}, \frac{63}{512}$ で、この式と完全に一致した。

玉の色は停止のタイミングに影響しない。色ごとに場合分けしようとすると、かえって複雑になる。

「 $n$ 回目が表」を忘れない。最初の $n - 1$ 回で4回表、というだけでは $n$ 回目に停止するとは限らない。

(4) $p_{n}$ が最大となる $n$ を求める

答 $n = 8, 9$

階乗の比は約分できるので、 $\frac{p _{n + 1}}{p _{n}}$ を $1$ と比べる。これで増減が一気に分かる。

比をとると

\frac{p _{n + 1}}{p _{n}} = \frac{_{n} C _{4}}{2 ^{n + 1}} \cdot \frac{2 ^{n}}{_{n - 1} C _{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{_{n} C _{4}}{_{n - 1} C _{4}}

である。 $\frac{_{n} C _{4}}{_{n - 1} C _{4}} = \frac{n}{n - 4}$ （ $n ≧ 5$ ）なので

\frac{p _{n + 1}}{p _{n}} = \frac{n}{2 ( n - 4 )}

である。これを $1$ と比べると、 $n - 4 > 0$ だから

\frac{n}{2 ( n - 4 )} > 1 ⟺ n > 2 n - 8 ⟺ n < 8

である。したがって

$5 ≦ n < 8$ ： $p_{n} < p_{n + 1}$ （増加）
$n = 8$ ： $p_{8} = p_{9}$
$n > 8$ ： $p_{n} > p_{n + 1}$ （減少）

となり、 $p_{n}$ が最大になるのは

n = 8, 9

のときである（最大値は $p_{8} = p_{9} = \frac{_{7} C _{4}}{2 ^{8}} = \frac{35}{256}$ ）。

分数で計算すると $p_{7} = \frac{15}{128} = \frac{30}{256}$ 、 $p_{8} = p_{9} = \frac{35}{256}$ 、 $p_{10} = \frac{63}{512} = \frac{31.5}{256}$ で、 $n = 8, 9$ が最大だった。

差ではなく比をとる。階乗と $2^{n}$ がどちらも約分できる。

$n = 8$ で比がちょうど $1$ になるので、最大を与える $n$ は2つある。1つだけ答えない。

第4問だけのページ

第5問　複素数平面

分母の実数化・軌跡が円になること・媒介変数表示・図示当サイトの体感難易度：標準

(1)実数 $t$ に対して $z = \frac{- 1}{t + i}$ とするとき、 $z$ の実部と虚部を $t$ で表す

答実部 $- \frac{t}{t ^{2} + 1}$ 、虚部 $\frac{1}{t ^{2} + 1}$

分母の共役を分母・分子に掛けて実数化する。

分母・分子に $t - i$ を掛けると

z = \frac{- 1}{t + i} = \frac{- ( t - i )}{( t + i ) ( t - i )} = \frac{- t + i}{t ^{2} + 1}

である（ $t$ は実数なので $t + i \neq = 0$ ）。よって

Re z = - \frac{t}{t ^{2} + 1}, Im z = \frac{1}{t ^{2} + 1}

である。

$t = - 0.5$ では $z = 0.4 + 0.8 i$ で、 $\frac{0.5}{1.25} = 0.4$ 、 $\frac{1}{1.25} = 0.8$ と一致した。

(2)絶対値 $z - \frac{i}{2}$ を求める

答 $\frac{1}{2}$ （ $t$ によらず一定）

(1) の成分で引き算して2乗和を計算する。分子が $(t^{2} + 1)^{2}$ にまとまる。

(1) より

z - \frac{i}{2} = - \frac{t}{t ^{2} + 1} + i (\frac{1}{t ^{2} + 1} - \frac{1}{2}) = - \frac{t}{t ^{2} + 1} + i \cdot \frac{1 - t ^{2}}{2 ( t ^{2} + 1 )}

である。絶対値の2乗は

z - \frac{i}{2}^{2} = \frac{t ^{2}}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{( 1 - t ^{2} ) ^{2}}{4 ( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{4 t ^{2} + ( 1 - t ^{2} ) ^{2}}{4 ( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

で、分子は

4 t^{2} + 1 - 2 t^{2} + t^{4} = t^{4} + 2 t^{2} + 1 = (t^{2} + 1)^{2}

である。よって

z - \frac{i}{2}^{2} = \frac{1}{4}, z - \frac{i}{2} = \frac{1}{2}

である。

つまり $z$ は、 $t$ が何であっても中心 $\frac{i}{2}$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円の上にある。

$t = - 1, - 0.5, 0, 0.5, 1, 3$ のいずれでも $z - \frac{i}{2} = 0.500000000$ だった。

(3)実数 $t$ が $- 1 ≦ t ≦ 1$ の範囲を動くとき、点 $z$ がどのような図形を描くかを複素数平面上に図示する

答中心 $\frac{i}{2}$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円の上半分（ $Im z ≧ \frac{1}{2}$ の部分）。両端 $\pm \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ を含む

(2) より $z$ は円周上にある。あとはどの範囲を動くかで、偏角を調べる。 $t = tan α$ とおくと半角の形になって一目で分かる。

(2) より $z$ は中心 $\frac{i}{2}$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円 $K$ の上にある。 $z - \frac{i}{2} = \frac{1}{2} (cos φ + i sin φ)$ とおくと、(2) の計算から

cos φ = \frac{- 2 t}{t ^{2} + 1}, sin φ = \frac{1 - t ^{2}}{t ^{2} + 1}

である。 $t = tan α$ （ $- \frac{π}{4} ≦ α ≦ \frac{π}{4}$ が $- 1 ≦ t ≦ 1$ に対応）とおくと、2倍角の公式から

\frac{2 t}{1 + t ^{2}} = sin 2 α, \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = cos 2 α

なので

cos φ = - sin 2 α = cos (\frac{π}{2} + 2 α), sin φ = cos 2 α = sin (\frac{π}{2} + 2 α)

である。よって $φ = \frac{π}{2} + 2 α$ ととれる。 $- \frac{π}{4} ≦ α ≦ \frac{π}{4}$ では

0 ≦ φ ≦ π

であり、 $φ$ は $α$ とともに連続に増加する。したがって $z$ は円 $K$ の上半分（ $φ$ が $0$ から $π$ までの部分）をちょうど1回描く。端点は

t = - 1 (φ = 0) : z = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, t = 1 (φ = π) : z = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

で、 $t = 0$ （ $φ = \frac{π}{2}$ ）では $z = i$ である。図示すると次のようになる。

太い弧が答え。中心 i/2、半径 1/2 の円の上半分で、両端 1/2 + i/2 と -1/2 + i/2 を含む。原点（t → ±∞ に対応）は含まない。

$t = - 1, 0, 1$ での $z$ はそれぞれ $\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ 、 $i$ 、 $- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ で、弧の右端・頂点・左端にあたった。

円周全体ではなく上半分だけ。 $t$ の範囲が偏角の範囲を決める。

$Im z = \frac{1}{t ^{2} + 1}$ は $- 1 ≦ t ≦ 1$ で $\frac{1}{2} ≦ Im z ≦ 1$ 。これを見ても「上半分」が分かる。

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第6問　積分法

置換積分による対称性・部分積分・漸化式・有理数であることの証明当サイトの体感難易度：やや難

(1) $A (m, n) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x sin^{n} x d x$ について、 $A (m, n) = A (n, m)$ と $A (m + 2, n) + A (m, n + 2) = A (m, n)$ を示す

答前者は $x = \frac{π}{2} - u$ の置換、後者は $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$

1つめは「 $sin$ と $cos$ を入れ替える置換」。2つめは足すと $1$ になることを使って括り出すだけ。

前半。 $x = \frac{π}{2} - u$ とおくと $d x = - d u$ 、 $cos x = sin u$ 、 $sin x = cos u$ で、 $x$ が $0 \to \frac{π}{2}$ のとき $u$ は $\frac{π}{2} \to 0$ である。よって

A (m, n) = \int_{\frac{π}{2}}^{0} sin^{m} u cos^{n} u (- d u) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} u sin^{m} u d u = A (n, m)

である。

後半。 被積分関数を足すと

cos^{m + 2} x sin^{n} x + cos^{m} x sin^{n + 2} x = cos^{m} x sin^{n} x (cos^{2} x + sin^{2} x) = cos^{m} x sin^{n} x

なので、 $0$ から $\frac{π}{2}$ まで積分して

A (m + 2, n) + A (m, n + 2) = A (m, n)

である。 $■$

$(m, n) = (2, 3)$ で数値積分すると $A (2, 3) = A (3, 2) = 0.133333333$ 、 $A (4, 3) + A (2, 5) = 0.133333333$ で一致した。

(2) $A (m, 1)$ を求める

答 $A (m, 1) = \frac{1}{m + 1}$

$sin x d x$ が $cos x$ の微分（符号つき）なので、 $cos x = u$ の置換でただの多項式の積分になる。

$u = cos x$ とおくと $d u = - sin x d x$ 、 $x$ が $0 \to \frac{π}{2}$ のとき $u$ は $1 \to 0$ である。よって

A (m, 1) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x sin x d x = \int_{1}^{0} u^{m} (- d u) = \int_{0}^{1} u^{m} d u = \frac{1}{m + 1}

である。

(1) より $A (1, n) = A (n, 1) = \frac{1}{n + 1}$ でもある。

$m = 1, 2, 3, 5$ で数値積分すると $0.5, 0.333333333, 0.25, 0.166666667$ で、 $\frac{1}{m + 1}$ と一致した。

(3) $A (m, n + 2) = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 2, n)$ が成り立つことを示す

答 $cos^{m} x sin x$ を積分、 $sin^{n + 1} x$ を微分して部分積分すると、境界項が $0$ になる

$cos^{m} x sin^{n + 2} x = (cos^{m} x sin x) \cdot sin^{n + 1} x$ と分け、前半を積分する側にとる。原始関数が $- \frac{cos ^{m + 1} x}{m + 1}$ になり、分母の $m + 1$ が出てくる。

$\frac{d}{d x} (- \frac{cos ^{m + 1} x}{m + 1}) = cos^{m} x sin x$ である。これを使って部分積分すると

A (m, n + 2) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n + 1} x \cdot (cos^{m} x sin x) d x = [- \frac{sin ^{n + 1} x cos ^{m + 1} x}{m + 1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{cos ^{m + 1} x}{m + 1} (n + 1) sin^{n} x cos x d x

である。境界項は、 $x = \frac{π}{2}$ で $cos^{m + 1} x = 0$ 、 $x = 0$ で $sin^{n + 1} x = 0$ なので $0$ である（ $m, n ≧ 1$ ）。残った積分は

\frac{n + 1}{m + 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m + 2} x sin^{n} x d x = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 2, n)

である。よって

A (m, n + 2) = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 2, n)

である。 $■$

$(m, n) = (5, 4)$ では $A (5, 6) = 0.011544012$ 、 $\frac{5}{6} A (7, 4) = 0.011544012$ で一致した。

どちらを積分する側にとるかで分母が決まる。 $cos^{m} x sin x$ を積分側にとると $m + 1$ が分母に出て、目的の形になる。

(4) $m$ または $n$ が奇数ならば $A (m, n)$ は有理数であることを示す

答(1) で $m$ が奇数の場合を $n$ が奇数の場合に帰着させ、(2) を出発点に (3) で $n$ を $2$ ずつ上げる帰納法

(1)(2)(3) がそのまま道具になる。(1) で「 $n$ が奇数」の場合だけ示せばよいことにし、(2) を $n = 1$ の場合、(3) を $n$ を $2$ 増やす step として使う。

(1) より $A (m, n) = A (n, m)$ なので、 $m$ が奇数の場合は $n$ が奇数の場合に帰着する。よって「 $n$ が奇数ならば $A (m, n)$ は有理数」を示せばよい。

$n = 2 k + 1$ （ $k ≧ 0$ ）として、 $k$ についての数学的帰納法で「すべての正の整数 $m$ に対し $A (m, 2 k + 1)$ は有理数」を示す。

$k = 0$ 。 (2) より $A (m, 1) = \frac{1}{m + 1}$ で、これは有理数である。

$k \to k + 1$ 。 すべての $m$ について $A (m, 2 k + 1)$ が有理数と仮定する。(3) で $n = 2 k + 1$ とすると

A (m, 2 k + 3) = \frac{2 k + 2}{m + 1} A (m + 2, 2 k + 1)

である。右辺は有理数 $\frac{2 k + 2}{m + 1}$ と、仮定より有理数である $A (m + 2, 2 k + 1)$ の積だから有理数である。

よって数学的帰納法より、 $n$ が奇数のとき $A (m, n)$ はつねに有理数である。 $m$ が奇数のときも (1) より同じ結論になる。 $■$

$m, n$ がともに偶数のときは有理数にならないことがある。たとえば $A (2, 2) = \frac{π}{16} = 0.19635 \dots$ である。実際 $A (m, n)$ の値は、 $m, n$ がともに偶数のときだけ $π$ を含む。

$A (2, 3) = \frac{2}{15} = 0.133333333$ 、 $A (4, 1) = \frac{1}{5} = 0.2$ 、 $A (5, 4) = 0.025396825 = \frac{8}{315}$ と、いずれも有理数だった。

帰納法は「すべての $m$ について」という形で回す。(3) で $m$ が $m + 2$ に変わるので、 $m$ を固定したままでは回らない。

$u = cos x$ の置換で $\int_{0}^{1} u^{m} (1 - u^{2})^{k} d u$ に直して「多項式の積分だから有理数」としてもよい。こちらのほうが短い。

第6問だけのページ

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問題文について

(1)AB=1、AC=1、BC=21​ の △ABC について、∠BAC=θ とするとき cosθ, sinθ を求める

(2)B から辺 AC に下ろした垂線の足を H とし、0<s<1 の実数 s に対し辺 BH を s:(1−s) に内分する点を P とするとき、AP2+BP2+CP2 の最小値とそのときの s を求める

(1)a=0 の実数とし、円 C:x2−2ax+y2−4y+4=0、直線 L:−4x+3y+a=0、直線 M:3x+4y−7a=0 を考えるとき、L と M の交点が C 上にあるような a を求める

(2)C と L が異なる2つの共有点をもつような a の範囲を求める

(3)集合 {P∣P は C と L の共有点}∪{P∣P は C と M の共有点} の要素の個数が 3 となる a をすべて求める

(1)n≧3 のとき 2n+n2+8<3n が成り立つことを示す

(2)不等式 2n+n2+8≧3n を満たす n をすべて求める

(3)等式 2n+n2+8=3n+an+b を満たす a,b,n（a,b は 0 以上の整数、n は正の整数）の組をすべて求める

(1)白玉3個・赤玉2個の計5個が入った箱から無作為に玉を1個取り出し、硬貨を投げて表なら手元に残し裏なら箱に戻す試行を行う（箱が空になったら停止）。2回の試行の結果、手元に白玉が2個ある確率を求める

(2)3回の試行の結果、手元の玉が白玉1個・赤玉1個の計2個となる確率を求める

(3)n を 5 以上の整数とするとき、ちょうど n 回目で試行が停止する確率 pn​ を求める

(4)pn​ が最大となる n を求める

(1)実数 t に対して z=t+i−1​ とするとき、z の実部と虚部を t で表す

(2)絶対値 ​z−2i​​ を求める

(3)実数 t が −1≦t≦1 の範囲を動くとき、点 z がどのような図形を描くかを複素数平面上に図示する

(1)A(m,n)=∫02π​​cosmxsinnxdx について、A(m,n)=A(n,m) と A(m+2,n)+A(m,n+2)=A(m,n) を示す

(2)A(m,1) を求める

(3)A(m,n+2)=m+1n+1​A(m+2,n) が成り立つことを示す

(4)m または n が奇数ならば A(m,n) は有理数であることを示す

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(1) $AB = 1$ 、 $AC = 1$ 、 $BC = \frac{1}{2}$ の $△ ABC$ について、 $∠ BAC = θ$ とするとき $cos θ, sin θ$ を求める

(2) $B$ から辺 $AC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし、 $0 < s < 1$ の実数 $s$ に対し辺 $BH$ を $s : (1 - s)$ に内分する点を $P$ とするとき、 $AP^{2} + BP^{2} + CP^{2}$ の最小値とそのときの $s$ を求める

(1) $a \neq = 0$ の実数とし、円 $C : x^{2} - 2 a x + y^{2} - 4 y + 4 = 0$ 、直線 $L : - 4 x + 3 y + a = 0$ 、直線 $M : 3 x + 4 y - 7 a = 0$ を考えるとき、 $L$ と $M$ の交点が $C$ 上にあるような $a$ を求める

(2) $C$ と $L$ が異なる2つの共有点をもつような $a$ の範囲を求める

(3)集合 ${P ∣ P は C と L の共有点} \cup {P ∣ P は C と M の共有点}$ の要素の個数が $3$ となる $a$ をすべて求める

(1) $n ≧ 3$ のとき $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つことを示す

(2)不等式 $2^{n} + n^{2} + 8 ≧ 3^{n}$ を満たす $n$ をすべて求める

(3)等式 $2^{n} + n^{2} + 8 = 3^{n} + an + b$ を満たす $a, b, n$ （ $a, b$ は $0$ 以上の整数、 $n$ は正の整数）の組をすべて求める

(3) $n$ を $5$ 以上の整数とするとき、ちょうど $n$ 回目で試行が停止する確率 $p_{n}$ を求める

(4) $p_{n}$ が最大となる $n$ を求める

(1)実数 $t$ に対して $z = \frac{- 1}{t + i}$ とするとき、 $z$ の実部と虚部を $t$ で表す

(2)絶対値 $z - \frac{i}{2}$ を求める

(3)実数 $t$ が $- 1 ≦ t ≦ 1$ の範囲を動くとき、点 $z$ がどのような図形を描くかを複素数平面上に図示する

(1) $A (m, n) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x sin^{n} x d x$ について、 $A (m, n) = A (n, m)$ と $A (m + 2, n) + A (m, n + 2) = A (m, n)$ を示す

(2) $A (m, 1)$ を求める

(3) $A (m, n + 2) = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 2, n)$ が成り立つことを示す

(4) $m$ または $n$ が奇数ならば $A (m, n)$ は有理数であることを示す