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東北大学　2020年度　前期日程　理系

第3問整数の解答・解説

数学的帰納法・指数の大小・小さい場合の調べ上げ・不定方程式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $n ≧ 3$ のとき $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つことを示す

答 $n = 3$ で $25 < 27$ 。帰納法の step は $3 \cdot 3^{n} > 3 (2^{n} + n^{2} + 8)$ と $2 \cdot 2^{n} + (n + 1)^{2} + 8 ≦ 3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24$ から

数学的帰納法。 $3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}$ と $3$ 倍になるのに対し、左辺は $2^{n}$ が $2$ 倍、 $n^{2}$ が少し増えるだけなので、余裕をもって押さえられる。

$n = 3$ のとき $2^{3} + 3^{2} + 8 = 25$ 、 $3^{3} = 27$ で $25 < 27$ ✓。

$n ≧ 3$ で $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つと仮定する。このとき

3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n} > 3 (2^{n} + n^{2} + 8) = 3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24

である。一方、示したい式の左辺は

2^{n + 1} + (n + 1)^{2} + 8 = 2 \cdot 2^{n} + n^{2} + 2 n + 9

である。両者の差をとると

(3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24) - (2 \cdot 2^{n} + n^{2} + 2 n + 9) = 2^{n} + 2 n^{2} - 2 n + 15

で、 $2^{n} > 0$ 、 $2 n^{2} - 2 n = 2 n (n - 1) ≧ 0$ （ $n ≧ 1$ ）だからこれは正である。よって

2^{n + 1} + (n + 1)^{2} + 8 < 3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24 < 3^{n + 1}

となり、 $n + 1$ でも成り立つ。数学的帰納法より $n ≧ 3$ のすべてで成り立つ。 $■$

$n = 3, \dots, 11$ で数値を比べると、差 $3^{n} - (2^{n} + n^{2} + 8)$ は $2, 41, 178, 621, 2002, 6233, 19082, 57917, 174970$ とどんどん開いた。

$3^{n + 1} > 3 (左辺)$ という「3倍の余裕」を作ってから比べる。直接 $2^{n + 1} + \dots < 3^{n + 1}$ を示そうとすると手がかりが少ない。

(2)不等式 $2^{n} + n^{2} + 8 ≧ 3^{n}$ を満たす $n$ をすべて求める

答 $n = 1, 2$

(1) より $n ≧ 3$ はすべて不適。残る $n = 1, 2$ を直接確かめるだけ。

(1) より $n ≧ 3$ では $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ なので、条件を満たさない。残りを調べる。

$n = 1$ ： $2 + 1 + 8 = 11 ≧ 3$ ✓
$n = 2$ ： $4 + 4 + 8 = 16 ≧ 9$ ✓

よって求める $n$ は

n = 1, 2

である。

$n = 1, \dots, 11$ を計算すると、 $≧$ になるのは $n = 1, 2$ だけだった。

(3)等式 $2^{n} + n^{2} + 8 = 3^{n} + an + b$ を満たす $a, b, n$ （ $a, b$ は $0$ 以上の整数、 $n$ は正の整数）の組をすべて求める

答 $n = 1$ で $a + b = 8$ となる9組、 $n = 2$ で $2 a + b = 7$ となる4組、計13組

$a, b ≧ 0$ なので右辺の $an + b$ は $0$ 以上。したがって $2^{n} + n^{2} + 8 - 3^{n} ≧ 0$ が必要で、(2) から $n$ が $1$ か $2$ に限られる。

$D (n) = 2^{n} + n^{2} + 8 - 3^{n}$ とおくと、条件は

D (n) = an + b

である。 $a, b ≧ 0$ 、 $n ≧ 1$ より右辺は $0$ 以上だから $D (n) ≧ 0$ が必要で、(2) より $n = 1$ または $n = 2$ である。

$n = 1$ 。 $D (1) = 2 + 1 + 8 - 3 = 8$ なので $a + b = 8$ である。 $a, b ≧ 0$ の整数だから

(a, b) = (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0)

の9組である。

$n = 2$ 。 $D (2) = 4 + 4 + 8 - 9 = 7$ なので $2 a + b = 7$ である。 $b = 7 - 2 a ≧ 0$ より $a ≦ 3$ だから

(a, b) = (0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)

の4組である。

以上、求める組 $(a, b, n)$ は合わせて13組である。

$a, b$ が $0$ 以上という条件が、 $n$ を2通りに絞る決め手になっている。もし $a, b$ が負でもよければ、どの $n$ でも解が作れてしまう。

全探索すると $n = 1$ で9組、 $n = 2$ で4組の計13組だった。

$a = 0$ や $b = 0$ も「 $0$ 以上の整数」なので含める。

$n$ が先に決まり、そのあと $a, b$ の組を数える、という順番で考える。

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(1)n≧3 のとき 2n+n2+8<3n が成り立つことを示す

(2)不等式 2n+n2+8≧3n を満たす n をすべて求める

(3)等式 2n+n2+8=3n+an+b を満たす a,b,n（a,b は 0 以上の整数、n は正の整数）の組をすべて求める

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