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東北大学　2020年度　前期日程　理系

第1問図形と計量の解答・解説

余弦定理・座標の導入・2次関数の最小・垂線の足当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $AB = 1$ 、 $AC = 1$ 、 $BC = \frac{1}{2}$ の $△ ABC$ について、 $∠ BAC = θ$ とするとき $cos θ, sin θ$ を求める

答 $cos θ = \frac{7}{8}$ 、 $sin θ = \frac{15}{8}$

3辺が分かっているので余弦定理そのまま。 $sin$ は $sin^{2} + cos^{2} = 1$ と $0 < θ < π$ から決まる。

余弦定理から

BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 AB \cdot AC cos θ

すなわち $\frac{1}{4} = 1 + 1 - 2 cos θ$ なので

2 cos θ = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}, cos θ = \frac{7}{8}

である。 $0 < θ < π$ より $sin θ > 0$ だから

sin θ = 1 - (\frac{7}{8})^{2} = \frac{15}{64} = \frac{15}{8}

である。

$A (0, 0)$ 、 $C (1, 0)$ 、 $B (\frac{7}{8}, \frac{15}{8})$ とすると $AB = AC = 1$ 、 $BC = 0.5$ になった。

(2) $B$ から辺 $AC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし、 $0 < s < 1$ の実数 $s$ に対し辺 $BH$ を $s : (1 - s)$ に内分する点を $P$ とするとき、 $AP^{2} + BP^{2} + CP^{2}$ の最小値とそのときの $s$ を求める

答最小値 $\frac{15}{16}$ （ $s = \frac{2}{3}$ のとき）

$A$ を原点、 $AC$ を $x$ 軸にとって座標を入れる。 $P$ は $BH$ 上なので $x$ 座標が固定され、 $y$ 座標だけが動く1変数の2次関数になる。

A を原点、AC を x 軸にとったところ。B の座標は (cosθ, sinθ) = (7/8, √15/8) で、H はその真下。P は BH 上を動く。

$A$ を原点、半直線 $AC$ を $x$ 軸の正の向きにとる。 $AC = 1$ より $C (1, 0)$ で、 $AB = 1$ 、 $∠ BAC = θ$ より

B (cos θ, sin θ) = (\frac{7}{8}, \frac{15}{8})

である。 $H$ は $B$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足なので $H (\frac{7}{8}, 0)$ である。

$P$ は $BH$ を $s : (1 - s)$ に内分するので、 $P$ の $x$ 座標は $\frac{7}{8}$ のままで、 $y$ 座標は

u = \frac{15}{8} (1 - s)

である。 $0 < s < 1$ より $0 < u < \frac{15}{8}$ である。このとき

AP^{2} = \frac{49}{64} + u^{2}, BP^{2} = (\frac{15}{8} - u)^{2}, CP^{2} = \frac{1}{64} + u^{2}

である（ $CP$ の $x$ 方向の差は $\frac{7}{8} - 1 = - \frac{1}{8}$ ）。足し合わせると

AP^{2} + BP^{2} + CP^{2} = \frac{50}{64} + \frac{15}{64} + 3 u^{2} - \frac{15}{4} u = 3 u^{2} - \frac{15}{4} u + \frac{65}{64}

である。 $u$ の2次関数として平方完成する。 $u$ の係数 $- \frac{15}{4}$ を $2 \cdot 3$ で割ると $- \frac{15}{24}$ なので

= 3 (u - \frac{15}{24})^{2} + \frac{65}{64} - 3 (\frac{15}{24})^{2}

であり、 $3 (\frac{15}{24})^{2} = 3 \cdot \frac{15}{576} = \frac{45}{576} = \frac{5}{64}$ だから、定数項は

\frac{65}{64} - \frac{5}{64} = \frac{60}{64} = \frac{15}{16}

である。頂点 $u = \frac{15}{24}$ は $0 < u < \frac{15}{8}$ の内部にあるので、ここで最小値 $\frac{15}{16}$ をとる。このとき

\frac{15}{8} (1 - s) = \frac{15}{24}, 1 - s = \frac{1}{3}, s = \frac{2}{3}

である。よって最小値は $\frac{15}{16}$ で、 $s = \frac{2}{3}$ のときである。

$AP^{2} + BP^{2} + CP^{2}$ は重心で最小になる。重心の $y$ 座標は $\frac{0 + \frac{15}{8} + 0}{3} = \frac{15}{24}$ で、 $P$ がちょうどその高さに来るときが答えである（ $x$ 座標は $\frac{7}{8}$ に固定されているが、和が $x$ と $y$ で分離するので $y$ だけ最適にすればよい）。

$s$ を $1 0^{- 5}$ 刻みで動かすと、最小は $s = 0.66667$ での $0.937500000$ だった。

$P$ は線分 $BH$ 上にあるので $x$ 座標は動かない。動くのは $y$ だけで、1変数の2次関数になる。

$s : (1 - s)$ の内分なので、 $B$ 側から測って $BP : PH = s : (1 - s)$ 。 $y$ 座標は $(1 - s)$ 倍になる。

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問題文について

(1)AB=1、AC=1、BC=21​ の △ABC について、∠BAC=θ とするとき cosθ, sinθ を求める

(2)B から辺 AC に下ろした垂線の足を H とし、0<s<1 の実数 s に対し辺 BH を s:(1−s) に内分する点を P とするとき、AP2+BP2+CP2 の最小値とそのときの s を求める

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