第2問図形と方程式の解答・解説

円と直線の距離・共有点の個数・連立方程式・集合の要素数当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $a \neq = 0$ の実数とし、円 $C : x^{2} - 2 a x + y^{2} - 4 y + 4 = 0$ 、直線 $L : - 4 x + 3 y + a = 0$ 、直線 $M : 3 x + 4 y - 7 a = 0$ を考えるとき、 $L$ と $M$ の交点が $C$ 上にあるような $a$ を求める

答 $a = 1$

まず $L$ と $M$ を連立して交点を求める。係数が $(- 4, 3)$ と $(3, 4)$ で直交しているので、消去もきれいに進む。

$C$ を平方完成すると

(x - a)^{2} + (y - 2)^{2} = a^{2}

なので、中心 $(a, 2)$ 、半径 $∣ a ∣$ の円である（ $a \neq = 0$ なので半径は正）。

$L, M$ を連立する。

{- 4 x + 3 y = - a 3 x + 4 y = 7 a

上を $4$ 倍、下を $3$ 倍して引くと $- 25 x = - 25 a$ 、つまり $x = a$ である。上に戻して $- 4 a + 3 y = - a$ より $y = a$ だから、交点は

(a, a)

である。これが $C$ 上にある条件は

(a - a)^{2} + (a - 2)^{2} = a^{2}, a^{2} - 4 a + 4 = a^{2}

すなわち $- 4 a + 4 = 0$ で、 $a = 1$ である。

$L$ の法線ベクトルは $(- 4, 3)$ 、 $M$ の法線ベクトルは $(3, 4)$ で、内積は $- 12 + 12 = 0$ 。つまり $L ⊥ M$ である。(3) でこの事実は直接は使わないが、図を描くときの見当になる。

$a = 1$ のとき交点は $(1, 1)$ で、 $C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ に代入すると $0 + 1 = 1$ で成り立つ。

(2) $C$ と $L$ が異なる2つの共有点をもつような $a$ の範囲を求める

答 $a < - 3$ または $a > \frac{3}{4}$

中心から直線までの距離が半径より小さい、という条件を書く。両辺とも $0$ 以上なので2乗して比べられる。

中心 $(a, 2)$ と $L : - 4 x + 3 y + a = 0$ の距離は

\frac{∣ - 4 a + 6 + a ∣}{( - 4 ) ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{∣ - 3 a + 6 ∣}{5} = \frac{3 ∣ a - 2 ∣}{5}

である。異なる2点で交わる条件は、これが半径 $∣ a ∣$ より小さいことなので

\frac{3 ∣ a - 2 ∣}{5} < ∣ a ∣, 9 (a - 2)^{2} < 25 a^{2}

である（両辺 $0$ 以上なので2乗してよい）。展開して整理すると

9 a^{2} - 36 a + 36 < 25 a^{2}, 16 a^{2} + 36 a - 36 > 0, 4 a^{2} + 9 a - 9 > 0

である。左辺は $(4 a - 3) (a + 3)$ と因数分解できるので

(4 a - 3) (a + 3) > 0, a < - 3 または a > \frac{3}{4}

である（いずれも $a \neq = 0$ を満たす）。

$a = 1$ では距離 $\frac{3}{5} < 1$ で2点、 $a = \frac{1}{2}$ では $\frac{3 \cdot 1.5}{5} = 0.9 > 0.5$ で共有点なしだった。

半径は $a$ ではなく $∣ a ∣$ 。 $a < 0$ の場合を落とさない。

(3)集合 ${P ∣ P は C と L の共有点} \cup {P ∣ P は C と M の共有点}$ の要素の個数が $3$ となる $a$ をすべて求める

答 $a = - 8, \frac{8}{9}, 1$

$C$ と $M$ についても (2) と同じ計算をする。2つの集合が共通の要素をもつのは、その点が $L$ と $M$ の交点 $(a, a)$ でもあるときに限るので、(1) から $a = 1$ のときだけ。それ以外は個数を足すだけである。

a = 1 のとき。L と M は直交し、その交点 (1, 1) が円 C 上にある。C は L とも M とも2点で交わるが、そのうち1点が共通なので和集合は3個になる。

$C$ と $M$ 。 中心 $(a, 2)$ と $M : 3 x + 4 y - 7 a = 0$ の距離は

\frac{∣ 3 a + 8 - 7 a ∣}{5} = \frac{4 ∣ a - 2 ∣}{5}

である。これと半径 $∣ a ∣$ を比べると

$16 (a - 2)^{2} < 25 a^{2} ⟺ 9 a^{2} + 64 a - 64 > 0 ⟺ (9 a - 8) (a + 8) > 0 ⟺ a < - 8$ または $a > \frac{8}{9}$ ：2点
$(9 a - 8) (a + 8) = 0 ⟺ a = - 8$ または $a = \frac{8}{9}$ ：1点（接する）
それ以外：0点

である。(2) と同様に $C$ と $L$ については

$a < - 3$ または $a > \frac{3}{4}$ ：2点
$a = - 3$ または $a = \frac{3}{4}$ ：1点
それ以外：0点

である。

重なりの有無。 2つの集合が共通の点をもつなら、その点は $L$ 上にも $M$ 上にもあるので $L$ と $M$ の交点 $(a, a)$ であり、かつ $C$ 上にある。(1) よりそれは $a = 1$ のときだけである。

$a \neq = 1$ のとき。 2つの集合は交わらないので、要素数は $∣ C \cap L ∣ + ∣ C \cap M ∣$ である。これが $3$ になるのは $(2, 1)$ か $(1, 2)$ の組み合わせのときである。

$∣ C \cap L ∣ = 1$ は $a = - 3, \frac{3}{4}$ 。このとき $∣ C \cap M ∣ = 2$ には $a < - 8$ か $a > \frac{8}{9}$ が必要だが、 $- 3$ も $\frac{3}{4}$ も当てはまらない。不適
$∣ C \cap M ∣ = 1$ は $a = - 8, \frac{8}{9}$ 。 $a = - 8$ は $a < - 3$ を満たし、 $a = \frac{8}{9}$ は $\frac{8}{9} > \frac{3}{4}$ を満たすので、どちらも $∣ C \cap L ∣ = 2$ 。適する

$a = 1$ のとき。 距離は $L$ について $\frac{3}{5}$ 、 $M$ について $\frac{4}{5}$ で、どちらも半径 $1$ より小さいので $∣ C \cap L ∣ = ∣ C \cap M ∣ = 2$ である。共通の点 $(1, 1)$ が1つあるので、和集合の要素数は

2 + 2 - 1 = 3

で、条件を満たす。

以上より、求める $a$ は

a = - 8, \frac{8}{9}, 1

である。

$a = - 8$ では $L$ との距離 $6 < 8$ （2点）、 $M$ との距離 $8 = 8$ （接する）で和集合3個。 $a = \frac{8}{9}$ では $\frac{2}{3} < \frac{8}{9}$ （2点）と $\frac{8}{9} = \frac{8}{9}$ （接する）で3個だった。