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東京大学　2023年度　前期日程　理科

第6問空間図形・体積の解答・解説

立体の体積・球の一部の体積・最短経路・回転体の断面当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1)条件 (i)(ii) をみたす点 $P$ の動く範囲 $V$ の体積を求める

答 $\frac{20}{3} + \frac{2 3}{3} π$

$S$ は立方体の表面から上面だけを取り除いたものである。 $O$ は立方体の中心なので、 $O$ から出る半直線は表面をちょうど1回だけ横切る。その出口が上面なら $S$ を通らないので $P$ はどこまででも行けるし、出口が上面以外なら $P$ はそこまでしか行けない。つまり条件 (ii) は「上面の方向かどうか」で2つに分かれる。

立方体を $K$ 、その上面 ${∣ x ∣ \leq 1, ∣ y ∣ \leq 1, z = 1}$ を $T$ とする。 $S$ は $K$ の表面のうち $z < 1$ の部分だから、 $K$ の表面から $T$ を取り除いたものである。

$O$ は $K$ の内部にあるので、 $O$ を端点とする半直線は $K$ の表面をちょうど1点で横切る。その点を出口と呼ぶ。出口より手前は $K$ の内部、先は $K$ の外部で、どちらも表面上の点ではない。したがって

出口が $T$ の上にあるとき：線分 $OP$ はどこまで延ばしても $S$ と出会わない。条件 (ii) は自動的にみたされ、(i) だけが効く。
出口が $T$ の上にないとき：出口は $S$ の点である。 $P$ が出口より先にあると、出口が $P$ 以外の共有点になってしまう。よって $OP$ は出口までで、 $P$ が出口と一致するときは共有点が $P$ だけなので許される。

出口が $T$ 上にある方向は、 $z \geq ∣ x ∣$ かつ $z \geq ∣ y ∣$ かつ $z > 0$ をみたす方向、つまり $O$ を頂点とし $T$ を底面とする四角錐を無限に延ばした領域 $Λ$ の方向である。まとめると

V = K \cup (Λ \cap B), B = {OP \leq 3}

である。立方体の中心から表面までの距離は最大でも頂点までの $3$ なので、 $K$ はまるごと $B$ に入っており、上の式で条件 (i) も過不足なく反映されている。

体積を出す。 立方体の体積は $2^{3} = 8$ である。

$Λ$ は、 $O$ から6つの面それぞれに向かう合同な6つの錐で空間を分けたうちの1つだから、 $O$ のまわりの全方向のちょうど $\frac{1}{6}$ を占める。よって半径 $3$ の球を $Λ$ で切り取った部分の体積は

\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} π (3)^{3} = \frac{1}{6} \cdot 43 π = \frac{2 3}{3} π

である。重なっているのは $K \cap Λ$ 、すなわち $O$ を頂点とし $T$ を底面とする四角錐で、体積は $\frac{1}{3} \cdot (2 \times 2) \cdot 1 = \frac{4}{3}$ である。したがって

V = 8 + \frac{2 3}{3} π - \frac{4}{3} = \frac{20}{3} + \frac{2 3}{3} π

となる。

$\frac{20}{3} + \frac{2 3}{3} π = 6.667 + 3.628 = 10.294$ 。条件 (i)(ii) を線分と5つの面との交点から直接判定するプログラムで、 $1$ 辺 $3.5$ の立方体に $400$ 万点をばらまいて測ると $10.285 \pm 0.009$ となり、誤差の範囲で一致する。

$S$ に上面が含まれないことが、この問題のすべてである。上面のふち（ $z = 1$ かつ $∣ x ∣ = 1$ などの辺）も $z = 1$ なので $S$ には入らない。

立方体の外に出られるのは上面の方向だけで、それ以外の方向では立方体の表面で止まる。だから $V$ は「球の一部」ではなく「立方体＋球の $\frac{1}{6}$ 」から重なりを引いた形になる。

(2)条件 (iii)(iv)(v) をみたす点 $P$ の動く範囲 $W$ の体積を求める

答 $\frac{20}{3} + (8 + \frac{2 3}{3} - 92 α) π$ （ $sin α = \frac{1}{3}$ 、 $0 < α < \frac{π}{2}$ ）

$O \to N \to P$ という2本の線分で、長さの合計 $3$ 以内で、 $S$ をよけて $P$ に届くか、という問題である。 $N = O$ にとれば (1) の $V$ がそのまま入る。新しく届くのは、上面のふちで1回折れ曲がって立方体の外側に回り込む分だけである。ふちは線分なので、「線分の向こう側にある2点を結ぶ最短の折れ線」という平面の問題に落ちる。

$N = O$ とすれば条件 (iii)(iv)(v) は (1) の (i)(ii) そのものになるので、 $V \subset W$ である。以下、 $V$ に入らない $P$ がどこまで届くかを調べる。

$P$ が立方体の外にあって $V$ に入らないとき、(1) で見たように線分 $OP$ は $S$ を横切る。折れ線 $O \to N \to P$ がこれをよけるには、上面 $T$ のふち、すなわち4本の辺のどれかで折れ曲がるしかない。どんな折れ線も長さは $OP$ 以上なので、最短のものを調べれば十分である。

辺 $ℓ : {(1, t, 1) ∣ - 1 \leq t \leq 1}$ の場合を考える。 $ℓ$ を含む直線までの距離で測ると、 $O$ は $2$ 離れていて、その垂線の足は $(1, 0, 1)$ である。 $P (x, y, z)$ について

ρ = (x - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

とおく。 $N = (1, t, 1)$ にとると

ON + NP = 2 + t^{2} + ρ^{2} + (y - t)^{2}

である。これは、平面上に点 $O^{'} (0, 2)$ と $P^{'} (y, - ρ)$ をとり、 $x$ 軸上の点 $(t, 0)$ を経由する道のりとまったく同じ形をしている。よって最小値は $O^{'} P^{'}$ の直線距離

t min (ON + NP) = y^{2} + (2 + ρ)^{2}

で、そのときの $t = \frac{2 y}{2 + ρ}$ は $∣ t ∣ \leq ∣ y ∣$ をみたすから、 $∣ y ∣ \leq 1$ であれば確かに辺 $ℓ$ の上にある。条件 (iii) は

y^{2} + (2 + ρ)^{2} \leq 3 ⟺ ρ \leq 3 - y^{2} - 2

となる。右辺が $0$ 以上になるのは $∣ y ∣ \leq 1$ のときだけで、これは辺 $ℓ$ の長さとちょうど合っている。

回り込める向き。 直線 $ℓ$ に垂直な平面で切って、 $u = x - 1$ 、 $v = z - 1$ とおく。この断面で $S$ にあたるのは半直線 $u = 0, v < 0$ （側面 $x = 1$ ）だけで、 $u < 0, v = 0$ の側（上面）は $S$ ではない。 $P$ が $V$ に入らないのは $u > 0$ かつ $v < u$ のときで、これは向きでいうと $(0, - 1)$ の方向から $(1, 1)$ の方向までの

\frac{3}{4} π (= 13 5^{\circ})

ぶんの扇形である。したがって辺 $ℓ$ のまわりで新たに届く範囲は、各 $y$ について半径 $R (y) = 3 - y^{2} - 2$ 、中心角 $\frac{3}{4} π$ の扇形で、その面積は $\frac{1}{2} R (y)^{2} \cdot \frac{3}{4} π = \frac{3 π}{8} R (y)^{2}$ である。

積分する。

R (y)^{2} = (3 - y^{2}) - 22 3 - y^{2} + 2 = 5 - y^{2} - 22 3 - y^{2}

で、 $\int_{- 1}^{1} (5 - y^{2}) d y = \frac{28}{3}$ である。残りは $y = 3 sin θ$ と置換する。 $d y = 3 cos θ d θ$ 、 $3 - y^{2} = 3 cos θ$ で、 $y = \pm 1$ は $sin θ = \pm \frac{1}{3}$ 、すなわち $θ = \pm α$ にあたるから

\int_{- 1}^{1} 3 - y^{2} d y = \int_{- α}^{α} 3 cos^{2} θ d θ = 3 \int_{- α}^{α} \frac{1 + cos 2 θ}{2} d θ = 3 [\frac{θ}{2} + \frac{sin 2 θ}{4}]_{- α}^{α} = 3 α + \frac{3}{2} sin 2 α

となる。 $sin α = \frac{1}{3}$ 、 $0 < α < \frac{π}{2}$ より $cos α = \frac{2}{3}$ なので $sin 2 α = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 2}{3}$ で、この積分は $3 α + 2$ である。よって

\int_{- 1}^{1} R (y)^{2} d y = \frac{28}{3} - 22 (2 + 3 α) = \frac{16}{3} - 62 α

となり、辺 $ℓ$ 1本ぶんの体積は

\frac{3 π}{8} (\frac{16}{3} - 62 α) = 2 π - \frac{9 2}{4} π α

である。4本の辺について同じことが起き、辺 $ℓ$ のぶんは $x > 1$ 、隣の辺のぶんは $y > 1$ のように、どの2つも重ならない。よって

W = \frac{20}{3} + \frac{2 3}{3} π + 4 (2 π - \frac{9 2}{4} π α) = \frac{20}{3} + (8 + \frac{2 3}{3} - 92 α) π

となる。

y = 0

での断面。濃い部分が

W

。真ん中の正方形が立方体、上に開いた扇形が条件 (i)(ii) で直接届く範囲（半径

3

）、上の2つの角についた小さな扇形がふちで1回折れ曲がって回り込める範囲（半径

3 - 2

、中心角

\frac{3}{4} π

）。上辺（破線）は

S

に含まれない開いた部分。

$sin α = \frac{1}{3}$ をみたす $α = 0.61548$ として $\frac{20}{3} + (8 + \frac{2 3}{3} - 92 α) π = 10.816$ 。条件を直接判定し、 $N$ を上面のふち $4801$ 点から探す全探索と、ここで導いた形とを $40$ 万点で突き合わせると、判定の食い違いは $0$ だった。体積も $400$ 万点のモンテカルロで $10.806 \pm 0.009$ となり一致する。

$N$ は $S$ に触れてはいけない（条件 (iv) には「 $N$ のみを共有点に持つ」という逃げ道がない）が、上面のふちは $z = 1$ なので $S$ ではなく、そこで折れ曲がってよい。

$ON + NP$ の最小値を求めるところが山場である。 $O$ と $P$ を辺 $ℓ$ のまわりの「軸方向の座標」と「軸からの距離」で測り直すと、平面上で直線の向こう側へ渡る最短経路の問題と同じ形になる。

回り込める向きが $\frac{3}{4} π$ であることは、辺に垂直な断面で考える。側面 $x = 1$ が壁、上面が開口部なので、壁の方向から上面の延長方向までのちょうど $13 5^{\circ}$ ぶんが「直接は見えないが回り込める」範囲になる。

4本の辺の寄与は重ならない。辺 $x = 1$ のぶんは $x > 1$ 、辺 $y = 1$ のぶんは $y > 1$ をみたすが、 $x > 1$ の点は辺 $y = 1$ まわりの条件 $∣ x ∣ \leq 1$ を破るので、両方に数えられることはない。

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(1)条件 (i)(ii) をみたす点 P の動く範囲 V の体積を求める

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