第3問図形と方程式・微分法の解答・解説

円と放物線・接線・弦の長さ・関数の単調性当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1)円 $C$ が $y > x^{2}$ の表す領域に含まれるような $a$ の範囲を求める

答 $a > \frac{5}{4}$

円周上の点を $(cos θ, a + sin θ)$ と置けば、条件は「すべての $θ$ について $a + sin θ > cos^{2} θ$ 」になる。 $a$ だけを左辺に残すと、右辺は $sin θ$ の2次式になるので、その最大値を超えていればよい。

円 $C$ の点は $(cos θ, a + sin θ)$ と書ける。 $C$ が $y > x^{2}$ に含まれる条件は

a + sin θ > cos^{2} θ (すべての θ)

すなわち $a > cos^{2} θ - sin θ$ がすべての $θ$ で成り立つことである。 $s = sin θ$ （ $- 1 \leq s \leq 1$ ）とおくと

cos^{2} θ - sin θ = 1 - s^{2} - s = - (s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}

となる。 $s = - \frac{1}{2}$ は $- 1 \leq s \leq 1$ にあるので、右辺の最大値は $\frac{5}{4}$ である。よって求める条件は $a > \frac{5}{4}$ である。

$a = \frac{5}{4}$ のとき、 $s = - \frac{1}{2}$ に対応する円周上の点は $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ で、 $x^{2} = \frac{3}{4} = y$ となり放物線上にある。 $a$ を少しでも大きくすればこの点は放物線より上に上がる。

$a \geq \frac{5}{4}$ ではない。 $s = - \frac{1}{2}$ のとき等号が成り立ち、円周上の点 $(\pm \frac{3}{2}, a - \frac{1}{2})$ が放物線に乗ってしまうので、 $y > x^{2}$ （等号なし）をみたさない。

「円が放物線と交わらない」ではなく「円周が領域 $y > x^{2}$ に含まれる」である。放物線の下側にすっぽり入る場合は条件をみたさないので、交わらないだけでは足りない。

(2) $L_{Q} = L_{R}$ となる $S$ 上の相異なる2点 $Q, R$ が存在するような $a$ の範囲を求める

答 $\frac{5}{4} < a < \frac{11}{8}$

$S$ 上の点を1つずつ追うより、その点での接線のほうが扱いやすい。 $S$ は円の右下の4分の1なので、そこでの接線は傾き $m \geq 0$ の「円の下側の接線」を1回ずつもれなく与える。だから $L_{P}$ は $m$ の関数になる。あとは「同じ値を2回とる $⟺$ 単調でない」と読み替えて、微分して増減を見ればよい。

$S$ は $x \geq 0$ かつ $y < a$ の部分だから、 $P = (cos θ, a + sin θ)$ で $- \frac{π}{2} \leq θ < 0$ の4分の1の弧である。 $θ = - φ$ （ $0 < φ \leq \frac{π}{2}$ ）とおくと、 $P$ での接線の傾きは

m = - \frac{cos θ}{sin θ} = \frac{cos φ}{sin φ}

で、 $φ$ が $\frac{π}{2}$ から $0$ に近づくにつれて $m$ は $0$ から $+ \infty$ まで単調に増える。つまり $P$ と $m \geq 0$ は1対1に対応する。

傾き $m$ で円 $C$ に下から接する直線を $y = m x + c$ とすると、中心 $(0, a)$ との距離が $1$ だから $\frac{∣ c - a ∣}{1 + m ^{2}} = 1$ で、下側の接線なので $c < a$ 、よって

c = a - 1 + m^{2}

である。この直線と $y = x^{2}$ の交点は $x^{2} - m x - c = 0$ の解で、2解を $x_{1}, x_{2}$ とすると

(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = m^{2} + 4 c

となる。 $P$ は放物線より上にあるので直線は放物線と2点で交わり、 $m^{2} + 4 c > 0$ である。切り取られる線分の長さは

L_{P} = 1 + m^{2} ∣ x_{1} - x_{2} ∣, L_{P}^{2} = (1 + m^{2}) (m^{2} + 4 c)

である。ここで $u = 1 + m^{2}$ とおく。 $m \geq 0$ と $u \geq 1$ は1対1に対応し、 $m^{2} = u^{2} - 1$ 、 $c = a - u$ だから

L_{P}^{2} = u^{2} (u^{2} - 1 + 4 a - 4 u) = u^{2} (u^{2} - 4 u + 4 a - 1) =: F (u)

となる。 $L_{P} > 0$ なので、 $L_{Q} = L_{R}$ となる相異なる2点があることは、 $F$ が $u \geq 1$ で単射でないことと同じである。

$F (u) = u^{4} - 4 u^{3} + (4 a - 1) u^{2}$ を微分すると

F^{'} (u) = 4 u^{3} - 12 u^{2} + 2 (4 a - 1) u = 2 u (2 u^{2} - 6 u + 4 a - 1)

である。 $u \geq 1$ では $2 u > 0$ だから、 $F^{'}$ の符号は $G (u) = 2 u^{2} - 6 u + 4 a - 1$ の符号と同じになる。 $G$ は下に凸で軸が $u = \frac{3}{2}$ 、これは $u \geq 1$ の内部にあるので、 $u \geq 1$ での $G$ の最小値は

G (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 + 4 a - 1 = 4 a - \frac{11}{2}

である。場合を分ける。

$4 a - \frac{11}{2} \geq 0$ 、すなわち $a \geq \frac{11}{8}$ のとき： $u \geq 1$ で $G \geq 0$ 、つまり $F^{'} \geq 0$ で、 $F^{'} = 0$ となるのはたかだか1点だから $F$ は狭義の増加関数。単射なので、 $L_{Q} = L_{R}$ となる相異なる2点は存在しない。
$a < \frac{11}{8}$ のとき： $G (\frac{3}{2}) < 0$ なので $u = \frac{3}{2}$ の近くで $F^{'} < 0$ となり、 $F$ はそこで減少する。 $F$ は $u \geq 1$ で単調でないので、同じ値を2回とる $u$ の組がある。

(1) の条件 $a > \frac{5}{4}$ とあわせて、求める範囲は $\frac{5}{4} < a < \frac{11}{8}$ である。

a = 1.3

のときの円

C

（細線）と放物線

y = x^{2}

。太い弧が

S

、太い線分が

S

上の点

P

での接線が放物線から切り取る部分で、その長さが

L_{P}

。

$a$ を $1.26, 1.30, 1.35, 1.3749$ と動かして $L_{P}$ を $m$ の関数として数値で追うと、どれも途中で減少に転じる。 $a = 1.375 (= \frac{11}{8})$ 以上では、 $m$ を $0$ から $12$ まで $3000$ 点で調べてもずっと増加のままだった。境目が $\frac{11}{8}$ であることと合う。