第1問積分法・極限の解答・解説

置換積分・絶対値を含む積分・はさみうちの原理・区分求積法当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $\frac{1}{( k + 1 ) π} \leq A_{k} \leq \frac{1}{k π}$ を示す

答 $t = x^{2}$ と置換すると $A_{k} = \int_{k π}^{(k + 1) π} \frac{∣ sin t ∣}{2 t} d t$ となり、 $t$ を両端の値で置きかえればはさめる

$sin (x^{2})$ のままでは原始関数が書けない。積分区間の端が $k π$ 、 $(k + 1) π$ という形をしているので、 $t = x^{2}$ と置けば区間が $k π \leq t \leq (k + 1) π$ という素直な形になる。そうすると被積分関数が $\frac{∣ sin t ∣}{2 t}$ となり、 $∣ sin t ∣$ の積分は正確に計算できて、残る $\frac{1}{2 t}$ を定数で上下からはさめばよい。

$t = x^{2}$ とおくと $d t = 2 x d x$ 、 $x = t$ より $d x = \frac{d t}{2 t}$ である。 $x : k π \to (k + 1) π$ のとき $t : k π \to (k + 1) π$ だから

A_{k} = \int_{k π}^{(k + 1) π} \frac{∣ sin t ∣}{2 t} d t

となる。この区間では $k π \leq t \leq (k + 1) π$ なので $k π \leq t \leq (k + 1) π$ であり、 $∣ sin t ∣ \geq 0$ とあわせて

\frac{∣ sin t ∣}{2 ( k + 1 ) π} \leq \frac{∣ sin t ∣}{2 t} \leq \frac{∣ sin t ∣}{2 k π}

が成り立つ。区間 $k π \leq t \leq (k + 1) π$ では $sin t$ の符号は一定で、 $∣ sin t ∣$ の積分は山ひとつぶんだから

\int_{k π}^{(k + 1) π} ∣ sin t ∣ d t = \int_{0}^{π} sin s d s = 2

である。よって3辺を $t$ で積分して

\frac{2}{2 ( k + 1 ) π} \leq A_{k} \leq \frac{2}{2 k π}, すなわち \frac{1}{( k + 1 ) π} \leq A_{k} \leq \frac{1}{k π}

を得る。

y = sin (x^{2})

のグラフ。

x

が大きくなるほど山の幅が狭くなる。破線は

x = k π

で、

A_{k}

は山ひとつぶんの面積。

$k = 1$ では下界 $\frac{1}{2 π} = 0.3989$ 、上界 $\frac{1}{π} = 0.5642$ で、数値積分すると $A_{1} = 0.4644$ となり間に入る。 $k = 100$ では下界 $0.056139$ 、上界 $0.056419$ に対し $A_{100} = 0.056279$ で、 $k$ が大きいほど上下のはさみが狭くなることも見てとれる。

置換したあとの $\frac{1}{2 t}$ を落とさない。 $d x$ と $d t$ の取りかえで出てくる因子で、これが最終的な $\frac{1}{k π}$ の形を決めている。

$\int_{k π}^{(k + 1) π} ∣ sin t ∣ d t$ は $k$ によらず $2$ である。 $k$ が偶数か奇数かで場合分けしたくなるが、絶対値がついているので分ける必要はない。

(2) $n \to \infty lim B_{n}$ を求める

答 $\frac{2 ( 2 - 1 )}{π}$

$B_{n}$ の積分区間 $nπ \leq x \leq 2 nπ$ は、ちょうど $A_{n}, A_{n + 1}, \dots, A_{2 n - 1}$ の $n$ 個ぶんである。(1) の評価を足し合わせれば $B_{n}$ が上下からはさめて、その上下の和はどちらも区分求積法の形になる。 $\frac{1}{n}$ の係数が、和を $\frac{1}{n} \sum$ の形に整えるために置かれている。

$2 nπ = (2 n) π$ だから、積分区間を $k = n, n + 1, \dots, 2 n - 1$ の区間に分けて

\int_{nπ}^{2 nπ} sin (x^{2}) d x = k = n \sum 2 n - 1 A_{k}

と書ける。(1) の評価を $k = n$ から $k = 2 n - 1$ まで足すと

\frac{1}{n} k = n \sum 2 n - 1 \frac{1}{( k + 1 ) π} \leq B_{n} \leq \frac{1}{n} k = n \sum 2 n - 1 \frac{1}{k π}

となる。右辺を区分求積法の形にする。 $k = n + j$ （ $j = 0, 1, \dots, n - 1$ ）とおくと $\frac{k}{n} = 1 + \frac{j}{n}$ で

\frac{1}{n} k = n \sum 2 n - 1 \frac{1}{k π} = \frac{1}{π} \cdot \frac{1}{n} j = 0 \sum n - 1 \frac{1}{1 + \frac{j}{n}}

である。よって $n \to \infty$ のとき

\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{n} j = 0 \sum n - 1 \frac{1}{1 + \frac{j}{n}} ⟶ \frac{1}{π} \int_{0}^{1} \frac{d u}{1 + u} = \frac{1}{π} [2 1 + u]_{0}^{1} = \frac{2 ( 2 - 1 )}{π}

となる。左辺も同様で、 $k + 1 = n + j + 1$ とおけば

\frac{1}{n} k = n \sum 2 n - 1 \frac{1}{( k + 1 ) π} = \frac{1}{π} \cdot \frac{1}{n} j = 1 \sum n \frac{1}{1 + \frac{j}{n}}

となり、同じ区分求積の和で、足す区間の端が1つずれているだけである。和の差は $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{n} (\frac{1}{2} - 1)$ で $n \to \infty$ のとき $0$ に収束するから、左辺も同じ極限をもつ。

はさみうちの原理より

n \to \infty lim B_{n} = \frac{2 ( 2 - 1 )}{π}

である。

数値積分すると $B_{50} = 0.4673886$ 、 $B_{200} = 0.4673899$ 、 $B_{1000} = 0.4673899$ となり、 $\frac{2 ( 2 - 1 )}{π} = 0.4673900$ に近づく。 $B_{n}$ はおよそ $\frac{1}{n} \times (山 n 個の面積)$ で、山ひとつの面積が $\frac{1}{k π}$ 程度だから $\frac{1}{π} \times (平均 0.83)$ 程度になる、という見積もりとも合う。