第5問整式の解答・解説

剰余の定理・重解と微分・因数分解・合同式の考え方当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $g (x)^{7}$ を $f (x)$ で割った余りと $r (x)^{7}$ を $f (x)$ で割った余りが等しいことを示す

答 $g^{7} - r^{7}$ が $g - r$ で割り切れ、 $g - r$ が $f$ で割り切れることから従う

余りが等しいことを示すには、2つの差が $f$ で割り切れることを言えばよい。 $g$ と $r$ は $f$ で割った余りが同じ、つまり $g - r$ が $f$ の倍数である。そこに $A^{7} - B^{7}$ が $A - B$ で割り切れるという因数分解を当てればそれで終わる。

$g (x)$ を $f (x)$ で割った商を $Q (x)$ とすると $g (x) = f (x) Q (x) + r (x)$ 、すなわち

g (x) - r (x) = f (x) Q (x)

である。一般に

A^{7} - B^{7} = (A - B) (A^{6} + A^{5} B + A^{4} B^{2} + A^{3} B^{3} + A^{2} B^{4} + A B^{5} + B^{6})

だから、 $A = g (x)$ 、 $B = r (x)$ とおくと

g (x)^{7} - r (x)^{7} = (g (x) - r (x)) \cdot (\dots) = f (x) \cdot Q (x) (\dots)

となり、 $g (x)^{7} - r (x)^{7}$ は $f (x)$ で割り切れる。2つの整式の差が $f$ で割り切れるとき、それぞれを $f$ で割った余りは等しい。よって $g (x)^{7}$ を $f (x)$ で割った余りと $r (x)^{7}$ を $f (x)$ で割った余りは等しい。

言いかえると「 $f$ で割った余りが同じ」という関係は、足し算・掛け算で保たれる。整数の合同式とまったく同じ性質で、(2) ではこれを繰り返し使う。

$f (x) = (x - 1)^{2} (x - 2)$ という具体形は (1) では一度も使わない。どんな $f$ でも成り立つ話なので、余計な代入を始めないほうが速い。

(2) $h_{2} (x) = h (x)$ となる実数 $a, b$ の組をすべて求める

答 $(a, b) = (- 2, 0), (- 2, 1)$

(1) を2回使うと、 $h_{2}$ は $h^{49}$ を $f$ で割った余りに等しい。 $h$ は2次式だから $f$ で割った余りは $h$ 自身で、条件は「 $h^{49} - h$ が $f$ で割り切れる」になる。 $f = (x - 1)^{2} (x - 2)$ なので、割り切れる条件は $x = 1$ で値と微分係数がともに $0$ 、 $x = 2$ で値が $0$ 、の3本である。

$h_{1}$ は $h^{7}$ を $f$ で割った余りだから、(1) を $g = h^{7}$ 、 $r = h_{1}$ に使うと、 $(h^{7})^{7} = h^{49}$ を $f$ で割った余りと $(h_{1})^{7}$ を $f$ で割った余り、すなわち $h_{2}$ が等しい。つまり $h^{49} - h_{2}$ は $f$ で割り切れる。

$h$ は2次式で $f$ は3次式だから、 $h$ を $f$ で割った余りは $h$ 自身である。 $h_{2}$ も $h$ も2次以下なので、 $h_{2} = h$ であることと $h^{49} - h$ が $f$ で割り切れることは同じである。

$p (x) = h (x)^{49} - h (x)$ とおく。 $f (x) = (x - 1)^{2} (x - 2)$ で割り切れる条件は

p (1) = 0, p^{'} (1) = 0, p (2) = 0

の3つである。 $α = h (1) = 1 + a + b$ 、 $β = h (2) = 4 + 2 a + b$ とおく。

$p (1) = α^{49} - α = α (α^{48} - 1) = 0$ 。 $α$ は実数だから $α = 0, 1, - 1$ 。
$p (2) = β^{49} - β = 0$ も同様に $β = 0, 1, - 1$ 。
$p^{'} (x) = 49 h (x)^{48} h^{'} (x) - h^{'} (x) = h^{'} (x) (49 h (x)^{48} - 1)$ より $p^{'} (1) = h^{'} (1) (49 α^{48} - 1)$ 。

$α = 0$ のとき $49 α^{48} - 1 = - 1$ 、 $α = \pm 1$ のとき $49 α^{48} - 1 = 48$ で、いずれも $0$ でない。よってどの場合も $h^{'} (1) = 0$ が必要で、 $h^{'} (x) = 2 x + a$ より

h^{'} (1) = 2 + a = 0, a = - 2

が確定する。このとき

α = 1 + a + b = b - 1, β = 4 + 2 a + b = b

だから、 $b - 1 \in {0, 1, - 1}$ かつ $b \in {0, 1, - 1}$ 、すなわち $b \in {0, 1, 2}$ かつ $b \in {- 1, 0, 1}$ である。共通部分は $b = 0, 1$ となる。

以上より $(a, b) = (- 2, 0)$ または $(- 2, 1)$ である。実際、

$(a, b) = (- 2, 0)$ のとき $h (x) = x (x - 2)$ で $h (1) = - 1$ 、 $h (2) = 0$ 、 $h^{'} (1) = 0$ 。3条件をみたす。
$(a, b) = (- 2, 1)$ のとき $h (x) = (x - 1)^{2}$ で $h (1) = 0$ 、 $h (2) = 1$ 、 $h^{'} (1) = 0$ 。3条件をみたす。

となり、どちらも条件をみたす。

$h (x)^{49}$ を $f (x)$ で割った余りを有理数係数のまま繰り返し2乗法で計算すると、 $(a, b) = (- 2, 0)$ では $x^{2} - 2 x$ 、 $(- 2, 1)$ では $x^{2} - 2 x + 1$ となり、どちらも $h (x)$ そのものに戻る。 $a, b$ を $- 8$ から $8$ まで $\frac{1}{2}$ 刻みで動かした $4624$ 通りを全部計算しても、 $h_{2} = h$ となるのはこの2組だけだった。