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東京大学　2020年度　前期日程　理科

第5問空間図形・体積の解答・解説

円錐・凸包・断面積・ミンコフスキー和当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1)平面 $z = 1$ による $S$ の切り口と $T$ の切り口を同一平面上に図示する

答 $S$ の切り口は原点を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円板、 $T$ の切り口は $(\frac{1}{2}, 0)$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円板

$S$ は高さ $z$ で半径が $\frac{2 - z}{2}$ の円板になる。 $T$ のほうは、 $A$ の高さが $2$ 、 $P$ の高さが $0$ なので、 $z = 1$ はちょうど線分 $AP$ の中点である。中点は「 $A$ と $P$ の平均」だから、 $P$ が底面の円板を動くときの中点の全体は、その円板を半分に縮めて平行移動したものになる。

$S$ は底面が $x^{2} + y^{2} \leq 1$ （ $z = 0$ ）、頂点が $(0, 0, 2)$ の円錐だから、高さ $z$ での切り口は原点を中心とする半径 $\frac{2 - z}{2}$ の円板である。 $z = 1$ では半径 $\frac{1}{2}$ の円板になる。

$A (1, 0, 2)$ と $P (p, q, 0)$ （ $p^{2} + q^{2} \leq 1$ ）を結ぶ線分のうち $z = 1$ にあるのは中点で、

(\frac{1 + p}{2}, \frac{q}{2}, 1)

である。 $(p, q)$ が単位円板を動くとき $(\frac{1 + p}{2}, \frac{q}{2})$ は、中心 $(\frac{1}{2}, 0)$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円板を描く。よって $T$ の切り口はこの円板である。

平面

z = 1

での切り口。実線の円が

S

の切り口（中心

O

、半径

\frac{1}{2}

）、破線の円が

T

の切り口（中心

(\frac{1}{2}, 0)

、半径

\frac{1}{2}

）。2つは重なり合う。

$P$ が底面の円周の点 $(1, 0, 0)$ のとき、中点は $(1, 0, 1)$ で、中心 $(\frac{1}{2}, 0)$ からの距離はちょうど $\frac{1}{2}$ 。 $P = (- 1, 0, 0)$ なら中点は $(0, 0, 1)$ で、これも距離 $\frac{1}{2}$ 。2つの円は中心間の距離が $\frac{1}{2}$ 、半径がともに $\frac{1}{2}$ なので、互いに相手の中心を通る形で重なる。

(2) $P$ が $S$ を動くとき、線分 $AP$ が通過する部分の体積を求める

答 $\frac{2 ( π + 1 )}{3}$

$S$ は凸なので、 $A$ から $S$ の各点へ引いた線分の和集合は、 $A$ と $S$ を合わせた凸包になる。さらに $S$ は「頂点 $(0, 0, 2)$ と底面の円板の凸包」だから、求める立体は「 $A$ 、頂点、底面の円板」の凸包である。高さ $z$ で切ると、上の2点から来る線分と底面から来る円板の重みつき和になり、断面は「線分と円板を足した形」、つまり角の丸い長方形になる。

$S$ は凸なので、 $A$ から $S$ の各点へ引いた線分すべての和集合は、 $A$ と $S$ の凸包に等しい。 $S$ 自体は頂点 $V (0, 0, 2)$ と底面の円板 $B$ の凸包だから、求める立体 $U$ は

U = (A, V, B の凸包)

である。 $A$ と $V$ はどちらも高さ $2$ 、 $B$ は高さ $0$ にある。 $U$ の点は $A, V, B$ の点の重みつき平均で、高さが $z$ になるのは「高さ $2$ の2点の重みの合計」が $λ = \frac{z}{2}$ のときである。

$A$ と $V$ の $x y$ 座標は $(1, 0)$ と $(0, 0)$ だから、重み $λ$ の範囲で作れるのは原点から $(λ, 0)$ までの線分である。残りの重み $1 - λ$ を円板 $B$ に配ると、半径 $1 - λ$ の円板が作れる。よって高さ $z$ の断面は

{線分 (0, 0) - (λ, 0)} \oplus {半径 1 - λ の円板}

すなわち、線分の各点を中心に半径 $1 - λ$ の円板を描いて重ねた形になる。これは縦 $2 (1 - λ)$ ・横 $λ$ の長方形の左右に半径 $1 - λ$ の半円をつけた形で、面積は

S (λ) = 2 λ (1 - λ) + π (1 - λ)^{2}

である。 $z = 2 λ$ より $d z = 2 d λ$ なので

V = \int_{0}^{2} S (\frac{z}{2}) d z = 2 \int_{0}^{1} {2 λ (1 - λ) + π (1 - λ)^{2}} d λ = 2 {2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + π \cdot \frac{1}{3}} = 2 (\frac{1}{3} + \frac{π}{3}) = \frac{2 ( π + 1 )}{3}

となる。

$λ = \frac{1}{2}$ （ $z = 1$ ）のとき断面は、線分 $(0, 0)$ – $(\frac{1}{2}, 0)$ と半径 $\frac{1}{2}$ の円板の和で、(1) で描いた2つの円板をちょうど包む形になっている。(1) の図が (2) の断面の特別な場合になっていることが確かめられる。

$\frac{2 ( π + 1 )}{3} = 2.7611$ 。円錐 $S$ だけの体積は $\frac{1}{3} π \cdot 1^{2} \cdot 2 = \frac{2 π}{3} = 2.0944$ で、差の $\frac{2}{3} = 0.667$ が $A$ 側にはみ出したぶんにあたる。 $150$ 万点のモンテカルロでも $2.76105$ となり一致した。

$T$ （底面だけを動かしたとき）の体積ではなく、 $S$ 全体を動かしたときの体積である。 $S$ が凸であることを使って凸包に言いかえると、断面が素直な形になる。

断面は円板でも長方形でもなく、両端が半円の「角丸長方形」である。面積を長方形だけ、あるいは円だけで出さない。

$λ = 0$ では半径 $1$ の円板（面積 $π$ ）、 $λ = 1$ では1点（面積 $0$ ）になる。式 $S (λ)$ がこの両端で正しい値を返すことを確かめておくとよい。

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(1)平面 z=1 による S の切り口と T の切り口を同一平面上に図示する

(2)P が S を動くとき、線分 AP が通過する部分の体積を求める

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