独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

東京大学　2020年度　前期日程　理科

第4問数列・式と証明の解答・解説

基本対称式・母関数・等比数列・係数比較当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $2$ 以上の整数 $n$ に対し $a_{n, 2}$ を求める

答 $a_{n, 2} = \frac{( 2 ^{n} - 1 ) ( 2 ^{n} - 2 )}{3}$

2つずつの積の総和は、「全部の和の2乗」から「2乗の和」を引いて2で割れば出る。どちらも等比数列の和なので簡単に書ける。

$s = 2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ 、 $q = (2^{0})^{2} + \dots + (2^{n - 1})^{2} = \frac{4 ^{n} - 1}{3}$ とおく。

s^{2} = q + 2 a_{n, 2}

なので

a_{n, 2} = \frac{s ^{2} - q}{2} = \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 ) ^{2} - ( 4 ^{n} - 1 )}{6} = \frac{2 \cdot 4 ^{n} - 6 \cdot 2 ^{n} + 4}{6} = \frac{4 ^{n} - 3 \cdot 2 ^{n} + 2}{3}

となる。 $4^{n} - 3 \cdot 2^{n} + 2 = (2^{n} - 1) (2^{n} - 2)$ だから

a_{n, 2} = \frac{( 2 ^{n} - 1 ) ( 2 ^{n} - 2 )}{3}

である。

$n = 3$ なら $\frac{7 \cdot 6}{3} = 14$ 。直接数えると $1 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 = 2 + 4 + 8 = 14$ で合う。 $n = 4$ なら $\frac{15 \cdot 14}{3} = 70$ で、 ${1, 2, 4, 8}$ から2つ選ぶ6通りの積の和 $2 + 4 + 8 + 8 + 16 + 32 = 70$ と一致する。

(2) $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )}$ と $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )}$ を $x$ の整式で表す

答 $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )} = 1 + 2^{n} x$ 、 $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )} = 1 + x$

$a_{n, k}$ は「 $2^{0}, \dots, 2^{n - 1}$ から $k$ 個選んだ積の和」なので、 $f_{n} (x)$ はこれらを1つずつ「使う・使わない」で展開したもの、つまり $(1 + 2^{0} x) (1 + 2^{1} x) \dots$ という積になる。積の形にしてしまえば2つの比はどちらも1個の因数の差になる。

$(1 + 2^{0} x) (1 + 2^{1} x) \dots (1 + 2^{n - 1} x)$ を展開すると、各因数から $1$ か $2^{m} x$ のどちらかを選んで掛け合わせたものの総和になる。 $x^{k}$ の係数は「 $2^{m}$ を $k$ 個選んだ積の和」、すなわち $a_{n, k}$ である。よって

f_{n} (x) = m = 0 \prod n - 1 (1 + 2^{m} x)

と書ける。1つめの比は、因数が1つ増えるだけだから

\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )} = 1 + 2^{n} x

である。2つめは、 $x$ を $2 x$ に置きかえると指数が1つずつずれて

f_{n} (2 x) = m = 0 \prod n - 1 (1 + 2^{m + 1} x) = m = 1 \prod n (1 + 2^{m} x) = \frac{f _{n + 1} ( x )}{1 + x}

となるから

\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )} = 1 + x

である。

$n = 2$ なら $f_{2} (x) = (1 + x) (1 + 2 x) = 1 + 3 x + 2 x^{2}$ で、 $a_{2, 1} = 3$ 、 $a_{2, 2} = 2$ と合う。 $f_{3} (x) = (1 + x) (1 + 2 x) (1 + 4 x)$ で、 $\frac{f _{3}}{f _{2}} = 1 + 4 x = 1 + 2^{2} x$ 、 $f_{2} (2 x) = (1 + 2 x) (1 + 4 x)$ より $\frac{f _{3}}{f _{2} ( 2 x )} = 1 + x$ となる。

$f_{n}$ を積の形に書き直すところがこの問題の中心である。 $a_{n, k}$ の定義をそのまま使って比を計算しようとすると行き詰まる。

(3) $\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}}$ を $n, k$ で表す

答 $\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}} = \frac{2 ^{k} ( 2 ^{n + 1} - 1 )}{2 ^{k + 1} - 1}$

(2) の2つの等式はどちらも $f_{n + 1}$ を $f_{n}$ で表している。両方の $x^{k + 1}$ の係数を書き出すと、 $a_{n + 1, k + 1}$ を $a_{n, k}$ と $a_{n, k + 1}$ で表す式が2本できる。2本から $a_{n, k + 1}$ を消せば答えが出る。

(2) の2つの等式を、分母を払った形で書くと

f_{n + 1} (x) = (1 + 2^{n} x) f_{n} (x), f_{n + 1} (x) = (1 + x) f_{n} (2 x)

である。 $f_{n} (x) = j = 0 \sum n a_{n, j} x^{j}$ （ $a_{n, 0} = 1$ ）として、両方で $x^{k + 1}$ の係数を比べる。1つめから

a_{n + 1, k + 1} = a_{n, k + 1} + 2^{n} a_{n, k}

であり、 $f_{n} (2 x) = j \sum a_{n, j} 2^{j} x^{j}$ なので2つめからは

a_{n + 1, k + 1} = 2^{k + 1} a_{n, k + 1} + 2^{k} a_{n, k}

となる。2式の右辺を等しいとおくと

a_{n, k + 1} + 2^{n} a_{n, k} = 2^{k + 1} a_{n, k + 1} + 2^{k} a_{n, k} ⟺ (2^{k + 1} - 1) a_{n, k + 1} = (2^{n} - 2^{k}) a_{n, k}

である。 $2^{k + 1} - 1 \neq = 0$ だから $a_{n, k + 1} = \frac{2 ^{n} - 2 ^{k}}{2 ^{k + 1} - 1} a_{n, k}$ となり、これを1つめに入れて

a_{n + 1, k + 1} = {\frac{2 ^{n} - 2 ^{k}}{2 ^{k + 1} - 1} + 2^{n}} a_{n, k} = \frac{2 ^{n} - 2 ^{k} + 2 ^{n} ( 2 ^{k + 1} - 1 )}{2 ^{k + 1} - 1} a_{n, k} = \frac{2 ^{n + k + 1} - 2 ^{k}}{2 ^{k + 1} - 1} a_{n, k} = \frac{2 ^{k} ( 2 ^{n + 1} - 1 )}{2 ^{k + 1} - 1} a_{n, k}

を得る。 $a_{n, k} > 0$ なので割ってよく

\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}} = \frac{2 ^{k} ( 2 ^{n + 1} - 1 )}{2 ^{k + 1} - 1}

である。

$n = 3$ 、 $k = 2$ なら $\frac{2 ^{2} ( 2 ^{4} - 1 )}{2 ^{3} - 1} = \frac{4 \cdot 15}{7} = \frac{60}{7}$ 。実際 $a_{4, 3} = 120$ 、 $a_{3, 2} = 14$ で $\frac{120}{14} = \frac{60}{7}$ と一致する。 $1 \leq n \leq 9$ 、 $1 \leq k \leq n$ のすべてで分数として一致することを確かめた。

$k = n$ のときは $a_{n, k + 1} = a_{n, n + 1}$ という「存在しない項」が出るが、 $0$ とみなせば式はそのまま成り立つ（ $2^{n} - 2^{n} = 0$ なので左辺も $0$ ）。

2020年度の全6問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東大理系数学 2027

東大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・168ページ・2026年8月2日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)2 以上の整数 n に対し an,2​ を求める

(2)fn​(x)fn+1​(x)​ と fn​(2x)fn+1​(x)​ を x の整式で表す

(3)an,k​an+1,k+1​​ を n,k で表す

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $2$ 以上の整数 $n$ に対し $a_{n, 2}$ を求める

(2) $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )}$ と $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )}$ を $x$ の整式で表す

(3) $\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}}$ を $n, k$ で表す