第2問 図形と方程式の解答・解説

平面上の点 $\mathrm{X}$ は、実数 $\alpha ,\beta ,\gamma$（$\alpha +\beta +\gamma =1$）を使って

と一意に書ける。このとき $△\mathrm{BCX}=|\alpha |\cdot △\mathrm{ABC}=|\alpha |$ である。実際、$\mathrm{X}$ と $\mathrm{A}$ の、直線 $\mathrm{BC}$ からの距離の比が $|\alpha |:1$ になるからである。同様に $△\mathrm{CAX}=|\beta |$、$△\mathrm{ABX}=|\gamma |$ だから

である。これを $S$ と書く。

$S\le k$ を不等式に直す。 絶対値は、符号で場合分けする代わりに「$\pm \alpha \pm \beta \pm \gamma \le k$ が符号の組み合わせ8通りすべてで成り立つこと」と言いかえられる。$\alpha +\beta +\gamma =1$ を使って整理すると、

1. $+++$ は $1\le k$、$---$ は $-1\le k$ で、$k\ge 1$ ならどちらも自動的に成り立つ。
2. $\alpha +\beta -\gamma \le k$ は $(1-\gamma )-\gamma \le k$、すなわち $\gamma \ge \frac{1-k}{2}$。
3. $-\alpha -\beta +\gamma \le k$ は $2\gamma -1\le k$、すなわち $\gamma \le \frac{k+1}{2}$。

$\alpha$、$\beta$ についても同じなので、$k\ge 1$ のとき

である。

面積を出す。 $u=\alpha -\frac{1-k}{2}$、$v=\beta -\frac{1-k}{2}$、$w=\gamma -\frac{1-k}{2}$ とおくと

となる。$M=\frac{3k-1}{2}$ とおく。上限を無視すれば $u,v,w\ge 0$、$u+v+w=M$ は三角形で、これは $△\mathrm{ABC}$ を $M$ 倍に拡大した形だから面積は $M^2$ である。そこから $u>k$、$v>k$、$w>k$ の3つの角を切り落とす。たとえば $u\ge k$ の部分は $u+v+w=M$ のもとで $M-k=\frac{k-1}{2}$ 倍の相似な三角形なので、面積は $(M-k{)}^2$ である。

$2(M-k)=k-1\le M$ なので（$k\le 3$ の範囲で確かめられる）切り落とす3つは重ならない。よって

となる。$k=1$ のとき $\frac{3-1}{2}=1$ で、三角形 $\mathrm{ABC}$ 自身の面積と合う。

したがって求める面積は

である。