第1問 2次不等式の解答・解説

仮に $a<0$ とする。$a{x}^2+bx+c=x^2\left(a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}\right)$ で、$x\to \infty$ のとき括弧の中は $a<0$ に近づくから、十分大きい $x$ に対して $a{x}^2+bx+c<0$ となる。

ところが解集合は $x>p$ をみたす $x$ の全体なので、いくらでも大きい $x$ が含まれる。そのような $x$ は3つの不等式をすべてみたすはずで、矛盾する。よって $a\ge 0$ である。

$b$ は2つめの式 $b{x}^2+cx+a>0$ の、$c$ は3つめの式 $c{x}^2+ax+b>0$ の2次の係数なので、まったく同じ議論で $b\ge 0$、$c\ge 0$ が言える。

(1) より $a,b,c\ge 0$ である。仮に $a,b,c$ がすべて正であるとする。

$a>0$ なので、(1) と同じ理由で $|x|$ が十分大きければ $a{x}^2+bx+c>0$ となる。とくに $x$ が十分小さい（絶対値の大きい負の数）ときにも正である。$b>0$、$c>0$ についても同様だから、十分小さい $x$ に対して3つの不等式がすべて成り立つ。

しかし解集合は $x>p$ をみたす $x$ の全体で、$p$ より小さい $x$ は含まない。十分小さい $x$ は $p$ より小さいので矛盾する。よって $a,b,c$ のうち少なくとも1個は $0$ である。

3つの不等式は $(a,b,c)$ を $(b,c,a)$ に置きかえると互いに入れかわるだけで、全体としては同じ条件になる。よって (2) で $0$ になるものを $c$ としてよい。$c=0$ とすると3式は

となる。$a\ge 0$、$b\ge 0$ である。

$a>0$ のとき。 3つめから $ax+b>0$ である。1つめは $x(ax+b)>0$ だから、$ax+b>0$ とあわせて $x>0$ を得る。逆に $x>0$ なら、$b\ge 0$ より $ax+b>0$、$x(ax+b)>0$ が成り立ち、2つめも $b{x}^2+a\ge a>0$ で成り立つ。よって解集合は $x>0$ をみたす $x$ の全体で、$p=0$ である。

$a=0$ のとき。 3式は $bx>0$、$b{x}^2>0$、$b>0$ となる。$b=0$ なら3つめが成り立たず解集合は空になり、$x>p$ の形にならないので不適である。$b>0$ なら1つめから $x>0$、2つめは $x\ne 0$、3つめはつねに成り立つので、解集合は $x>0$ をみたす $x$ の全体となり、やはり $p=0$ である。

いずれの場合も $p=0$ である。