大阪大学　2024年度　前期日程　理系

第4問積分（回転体）の解答・解説

y 軸のまわりの回転・円板と円環・ドーナツ形の体積・2次方程式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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答 $V_{1} = π (2 a^{2} + π a + \frac{4}{3})$

高さ $y$ の断面は半径 $a + 1 - y^{2}$ の円板。 $\int_{- 1}^{1} 1 - y^{2} d y = \frac{π}{2}$ を使う。

$C$ の $x ≧ a$ の部分は $x = a + 1 - y^{2}$ （ $- 1 ≦ y ≦ 1$ ）である。囲まれた図形は、各 $y$ について $0 ≦ x ≦ a + 1 - y^{2}$ の部分である。 $y$ 軸のまわりに回すと断面は円板なので

V_{1} = π \int_{- 1}^{1} (a + 1 - y^{2})^{2} d y = π \int_{- 1}^{1} {a^{2} + 2 a 1 - y^{2} + (1 - y^{2})} d y

である。それぞれ

\int_{- 1}^{1} a^{2} d y = 2 a^{2}, \int_{- 1}^{1} 1 - y^{2} d y = \frac{π}{2}, \int_{- 1}^{1} (1 - y^{2}) d y = \frac{4}{3}

である（2つめは半径 $1$ の半円の面積）。したがって

V_{1} = π (2 a^{2} + π a + \frac{4}{3})

である。

図は a = 2 のとき。円 C と、(1) で回転させる図形（塗った部分。y 軸・y = ±1・C の右半分で囲む）。(2) では円 C の内部そのものを回す。

$a = 1.5, 2, 4.566$ で数値積分した値と式が小数6桁まで一致した。

答 $a = \frac{9 π + 81 π ^{2} - 96}{12}$

$V_{2}$ は円環を積む。 $(a +)^{2} - (a -)^{2} = 4 a$ ときれいになる。

$a > 1$ なので円 $C$ は $y$ 軸と交わらず、 $x > 0$ の側にある。高さ $y$ の断面は、外半径 $a + 1 - y^{2}$ 、内半径 $a - 1 - y^{2}$ の円環である。

V_{2} = π \int_{- 1}^{1} {(a + 1 - y^{2})^{2} - (a - 1 - y^{2})^{2}} d y = π \int_{- 1}^{1} 4 a 1 - y^{2} d y

である。よって

V_{2} = 4 aπ \cdot \frac{π}{2} = 2 π^{2} a

である。 $V_{1} = 2 V_{2}$ は

π (2 a^{2} + π a + \frac{4}{3}) = 4 π^{2} a, 2 a^{2} - 3 π a + \frac{4}{3} = 0

すなわち $6 a^{2} - 9 π a + 4 = 0$ である。解は

a = \frac{9 π \pm 81 π ^{2} - 96}{12}

である。 $81 π^{2} - 96 = 26.52 \dots$ 、 $9 π = 28.27 \dots$ なので、 $-$ のほうは $0.146 \dots < 1$ で条件 $a > 1$ に反する。したがって

a = \frac{9 π + 81 π ^{2} - 96}{12}

である（ $4.566 \dots$ ）。

$V_{2} = 2 π^{2} a$ は「ドーナツの体積＝断面積 $π$ × 重心が回る長さ $2 π a$ 」でもある（パップス・ギュルダンの定理）。断面の計算と合う。

$a = 4.5663949$ で $V_{1} - 2 V_{2}$ が $- 2.8 \times 1 0^{- 14}$ になり、もう一方の解は $0.146$ で $a > 1$ に反した。

$a > 1$ という条件が効く。2解のうち小さいほうを落とさずに、きちんと外す理由を書く。

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