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大阪大学　2024年度　前期日程　理系

第2問複素数平面の解答・解説

複素数の1次変換・絶対値の条件・円板の和・等号が成り立つ場合当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $f (z) = z^{2} + α z + β$ とし、 $α, β$ は $∣ f (1) - 3 ∣ ≦ 1$ かつ $∣ f (i) - 1 ∣ ≦ 3$ をみたして動く。 $f (1 + i)$ がとりうる値の範囲を求める

答 $∣ f (1 + i) - (2 + 2 i) ∣ ≦ 22$ 。すなわち中心 $2 + 2 i$ 、半径 $22$ の円板（周を含む）

$f (1)$ と $f (i)$ を変数にとり直すと、 $f (1 + i)$ はその1次式で書ける。

$u = f (1) = 1 + α + β$ 、 $v = f (i) = - 1 + α i + β$ とおく。 $α, β$ が複素数全体を動くとき $u, v$ も独立に複素数全体を動く（ $u, v$ から $α, β$ が一意に決まる）。実際

u - v = 2 + α (1 - i), α = \frac{u - v - 2}{1 - i}, β = u - 1 - α

である。一方

f (1 + i) = (1 + i)^{2} + α (1 + i) + β = 2 i + α (1 + i) + β

で、 $β = u - 1 - α$ を入れると $α$ の項がまとまって

f (1 + i) = u - 1 + 2 i + α i

である。 $p = u - 3$ 、 $q = v - 1$ （条件は $∣ p ∣ ≦ 1$ 、 $∣ q ∣ ≦ 3$ ）とおくと $u - v - 2 = p - q$ なので

α i = \frac{( p - q ) i}{1 - i} = \frac{( p - q ) ( i - 1 )}{2}

である（分母を有理化した）。したがって

f (1 + i) = (p + 3) - 1 + 2 i + \frac{( p - q ) ( i - 1 )}{2} = (2 + 2 i) + \frac{p ( 1 + i ) + q ( 1 - i )}{2}

である。 $∣ 1 + i ∣ = ∣ 1 - i ∣ = 2$ なので

\frac{p ( 1 + i )}{2} ≦ \frac{2}{2}, \frac{q ( 1 - i )}{2} ≦ \frac{3 2}{2}

である。 $p$ は $∣ p ∣ ≦ 1$ の円板全体を動くので $\frac{p ( 1 + i )}{2}$ は半径 $\frac{2}{2}$ の円板全体を、同様に $\frac{q ( 1 - i )}{2}$ は半径 $\frac{3 2}{2}$ の円板全体を動く。2つは独立なので、和は半径

\frac{2}{2} + \frac{3 2}{2} = 22

の円板全体を動く。したがって $f (1 + i)$ がとりうる値の範囲は

∣ f (1 + i) - (2 + 2 i) ∣ ≦ 22

すなわち中心 $2 + 2 i$ 、半径 $22$ の円板（周を含む）である。

f(1+i) がとりうる値（塗った円板）。中心は 2 + 2i、半径は 2√2。原点までの距離もちょうど 2√2 なので、原点は円周の上にある。

条件をみたす $(α, β)$ を $10$ 万組とると、中心からの距離の最大は $2.8198$ で $22 = 2.8284$ に近づいた。

$α, β$ のまま動かそうとすると大変。 $f (1), f (i)$ を変数にとり直すと、条件がそのまま「2つの円板」になる。

(2) $f (1 + i) = 0$ であるとき、 $α, β$ の値を求める

答 $α = - 2 + i$ 、 $β = 3 - i$

原点は円板の周の上なので、2つの不等式で等号が成り立ち、向きも決まる。

$∣ 0 - (2 + 2 i) ∣ = ∣ 2 + 2 i ∣ = 22$ なので、原点は (1) の円板の周上にある。つまり

\frac{p ( 1 + i )}{2} + \frac{q ( 1 - i )}{2} = - (2 + 2 i)

で、左辺の2つの大きさの和がちょうど $22$ に等しい。和の絶対値が各項の絶対値の和に等しくなるのは、2つが同じ向きでそれぞれ最大の大きさをとるときに限る。 $- (2 + 2 i)$ の向きは $- \frac{1 + i}{2}$ なので

\frac{p ( 1 + i )}{2} = \frac{2}{2} \cdot (- \frac{1 + i}{2}) = - \frac{1 + i}{2}

より $p = - 1$ 、同じように

\frac{q ( 1 - i )}{2} = \frac{3 2}{2} \cdot (- \frac{1 + i}{2}) = - \frac{3 ( 1 + i )}{2}

より $q (1 - i) = - 3 (1 + i)$ 、すなわち $q = - \frac{3 ( 1 + i ) ^{2}}{2} = - 3 i$ である（ $∣ q ∣ = 3$ で条件に合う）。

したがって

u = f (1) = p + 3 = 2, v = f (i) = q + 1 = 1 - 3 i

である。(1) の式に入れると

α = \frac{u - v - 2}{1 - i} = \frac{- 1 + 3 i}{1 - i} = \frac{( - 1 + 3 i ) ( 1 + i )}{2} = - 2 + i

β = u - 1 - α = 2 - 1 - (- 2 + i) = 3 - i

である。

確かめ算： $f (1) = 1 + (- 2 + i) + (3 - i) = 2$ で $∣ 2 - 3 ∣ = 1$ 、 $f (i) = - 1 + (- 2 + i) i + (3 - i) = 1 - 3 i$ で $∣ 1 - 3 i - 1 ∣ = 3$ 。どちらもぎりぎり条件をみたしている。

$α = - 2 + i$ 、 $β = 3 - i$ で $f (1) = 2$ 、 $f (i) = 1 - 3 i$ 、 $f (1 + i) = 0$ になった。

三角不等式の等号は「向きがそろう」とき。大きさだけ最大にしても足りない。

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(1)f(z)=z2+αz+β とし、α,β は ∣f(1)−3∣≦1 かつ ∣f(i)−1∣≦3 をみたして動く。f(1+i) がとりうる値の範囲を求める

(2)f(1+i)=0 であるとき、α,β の値を求める

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(1) $f (z) = z^{2} + α z + β$ とし、 $α, β$ は $∣ f (1) - 3 ∣ ≦ 1$ かつ $∣ f (i) - 1 ∣ ≦ 3$ をみたして動く。 $f (1 + i)$ がとりうる値の範囲を求める

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