第3問空間ベクトルの解答・解説

ねじれの位置・外積の向き・基底による分解・存在と一意性当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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答方向は $n = u \times v$ に限られ、 $BA = a u + b v + c n$ と分解すると $s = - a$ 、 $t = b$ とただ1通りに決まる

${u, v, n}$ が空間の基底になることを使う。ねじれの位置だから $c \neq = 0$ 。

$ℓ$ を点 $A$ と方向ベクトル $u$ で、 $m$ を点 $B$ と方向ベクトル $v$ で表す。ねじれの位置なので $ℓ$ と $m$ は平行でなく、交わらない。平行でないことから $u, v$ は1次独立で

n = u \times v \neq = 0

である。 $n$ は $u$ とも $v$ とも垂直なので、 ${u, v, n}$ は空間の基底になる。

方向は $n$ に限られる。

求める直線の方向ベクトルを $w$ とすると、 $ℓ$ とも $m$ とも垂直だから $w \cdot u = w \cdot v = 0$ である。 $u, v$ に垂直なベクトルは $n$ の定数倍に限るので、 $w$ は $n$ に平行である。

交わる点の決まり方。

求める直線が $ℓ$ と $P = A + s u$ で、 $m$ と $Q = B + t v$ で交わるとすると、 $QP$ が $n$ に平行であればよい。 $BA$ を基底で

BA = a u + b v + c n

と（ただ1通りに）分解すると

QP = BA + s u - t v = (a + s) u + (b - t) v + c n

である。これが $n$ の定数倍になるのは、基底の係数の一意性から

a + s = 0 かつ b - t = 0, つまり s = - a, t = b

のときに限る。すなわち $P, Q$ はただ1通りに決まる。

$P \neq = Q$ であること。

このとき $QP = c n$ である。もし $c = 0$ なら $P = Q$ となり、 $ℓ$ と $m$ が交わってしまう。これはねじれの位置であることに反するので $c \neq = 0$ である。よって $P \neq = Q$ で、2点 $P, Q$ を通る直線がただ1つ定まる。

この直線は方向が $n$ なので $ℓ$ とも $m$ とも垂直で、しかも $P$ で $ℓ$ と、 $Q$ で $m$ と交わるから、両方に直交する。逆に両方に直交する直線は上の議論から必ずこれになる。したがってそのような直線はただ1つである。（証明終わり）

$∣ c ∣ ∣ n ∣ = PQ$ が2直線の最短距離でもある。 $BA$ の $n$ 方向の成分がそのまま距離になる、という見方ができる。

ランダムに2万組のねじれた2直線を作って $s = - a$ 、 $t = b$ とすると、 $QP$ はどの場合も $u, v$ と直交し、 $P \neq = Q$ だった。

「方向が決まる」だけでは足りない。 $ℓ, m$ と実際に交わる位置がただ1通りであること、そして2点が一致しないことまで言う。

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