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大阪大学　2024年度　前期日程　理系

第1問極限の解答・解説

中間値の定理・単調性から解がただ1つ・はさみうち・指数と対数の極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)自然数 $n$ に対して $f_{n} (x) = 1 - \frac{1}{2} e^{n x} + cos \frac{x}{3}$ （ $x ≧ 0$ ）とする。 $f_{n} (x) = 0$ がただ1つの実数解をもつことを示す

答 $f_{n}$ は $x ≧ 0$ で狭義単調減少、 $f_{n} (0) = \frac{3}{2} > 0$ 、 $x \to \infty$ で $- \infty$

$f_{n}^{'} (x) ≦ - \frac{1}{6} < 0$ を示す。 $e^{n x} ≧ 1$ と $∣ sin ∣ ≦ 1$ でおさえる。

f_{n}^{'} (x) = - \frac{n}{2} e^{n x} - \frac{1}{3} sin \frac{x}{3}

である。 $x ≧ 0$ 、 $n ≧ 1$ では $e^{n x} ≧ 1$ なので $\frac{n}{2} e^{n x} ≧ \frac{1}{2}$ であり、 $\frac{1}{3} sin \frac{x}{3} ≦ \frac{1}{3}$ だから

f_{n}^{'} (x) ≦ - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} < 0

である。よって $f_{n}$ は $x ≧ 0$ で狭義単調減少する。

端のようすは

f_{n} (0) = 1 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} > 0

であり、 $1 + cos \frac{x}{3}$ は $0$ 以上 $2$ 以下で有界、 $- \frac{1}{2} e^{n x} \to - \infty$ なので $x \to \infty$ で $f_{n} \to - \infty$ である。

$f_{n}$ は連続で狭義単調減少し、 $\frac{3}{2} > 0$ から $- \infty$ まで動くので、中間値の定理によって $f_{n} (x) = 0$ は $x > 0$ にただ1つ解をもつ。（証明終わり）

y = fₙ(x) のグラフ（図は n = 2）。x = 0 で 3/2 から始まり、ずっと減って −∞ に落ちる。x 軸と交わる点がただ1つの解 aₙ。

$n = 1$ で $0 ≦ x ≦ 5$ の $f_{n}^{'}$ の最大は $- 0.5$ で、つねに負だった。

(2)(1) の解を $a_{n}$ とするとき $n \to \infty lim a_{n}$ を求める

答 $n \to \infty lim a_{n} = 0$

$f_{n} (a_{n}) = 0$ から $e^{n a_{n}} = 2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3}) ≦ 4$ 。

$f_{n} (a_{n}) = 0$ より

\frac{1}{2} e^{n a_{n}} = 1 + cos \frac{a _{n}}{3}, e^{n a_{n}} = 2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3})

である。右辺は $0$ 以上 $4$ 以下なので $e^{n a_{n}} ≦ 4$ 、すなわち

n a_{n} ≦ lo g 4, 0 < a_{n} ≦ \frac{lo g 4}{n}

である（ $a_{n} > 0$ は (1) から）。はさみうちの原理より $n \to \infty lim a_{n} = 0$ である。

$n = 1, 2, 5, 20, 100$ で $a_{n} = 1.336, 0.687, 0.277, 0.0693, 0.01386$ と $0$ に近づいた。

(3) $n \to \infty lim n a_{n}$ を求める

答 $n \to \infty lim n a_{n} = lo g 4 = 2 lo g 2$

(2) の等式を $n a_{n}$ について解く。 $a_{n} \to 0$ なので $cos \frac{a _{n}}{3} \to 1$ 。

(2) の等式の両辺の対数をとると

n a_{n} = lo g {2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3})}

である。(2) より $a_{n} \to 0$ なので $cos \frac{a _{n}}{3} \to 1$ であり、 $lo g$ は連続だから

n \to \infty lim n a_{n} = lo g (2 \cdot 2) = lo g 4 = 2 lo g 2

である（ $1.3862 \dots$ ）。

$a_{n} \approx \frac{lo g 4}{n}$ ということ。(2) で作った上からの評価 $a_{n} ≦ \frac{lo g 4}{n}$ が、実はほぼ等号だったと分かる。

$n a_{n}$ は $n = 1, 2, 5, 20, 100$ で $1.3363, 1.3732, 1.3842, 1.3862, 1.38629$ となり、 $lo g 4 = 1.3862944$ に近づいた。

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問題文について

(1)自然数 n に対して fn​(x)=1−21​enx+cos3x​（x≧0）とする。fn​(x)=0 がただ1つの実数解をもつことを示す

(2)(1) の解を an​ とするとき n→∞lim​an​ を求める

(3)n→∞lim​nan​ を求める

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(1)自然数 $n$ に対して $f_{n} (x) = 1 - \frac{1}{2} e^{n x} + cos \frac{x}{3}$ （ $x ≧ 0$ ）とする。 $f_{n} (x) = 0$ がただ1つの実数解をもつことを示す

(2)(1) の解を $a_{n}$ とするとき $n \to \infty lim a_{n}$ を求める

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