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大阪大学　2024年度　前期日程　理系

阪大理系 2024年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　極限

中間値の定理・単調性から解がただ1つ・はさみうち・指数と対数の極限当サイトの体感難易度：標準

(1)自然数 $n$ に対して $f_{n} (x) = 1 - \frac{1}{2} e^{n x} + cos \frac{x}{3}$ （ $x ≧ 0$ ）とする。 $f_{n} (x) = 0$ がただ1つの実数解をもつことを示す

答 $f_{n}$ は $x ≧ 0$ で狭義単調減少、 $f_{n} (0) = \frac{3}{2} > 0$ 、 $x \to \infty$ で $- \infty$

$f_{n}^{'} (x) ≦ - \frac{1}{6} < 0$ を示す。 $e^{n x} ≧ 1$ と $∣ sin ∣ ≦ 1$ でおさえる。

f_{n}^{'} (x) = - \frac{n}{2} e^{n x} - \frac{1}{3} sin \frac{x}{3}

である。 $x ≧ 0$ 、 $n ≧ 1$ では $e^{n x} ≧ 1$ なので $\frac{n}{2} e^{n x} ≧ \frac{1}{2}$ であり、 $\frac{1}{3} sin \frac{x}{3} ≦ \frac{1}{3}$ だから

f_{n}^{'} (x) ≦ - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} < 0

である。よって $f_{n}$ は $x ≧ 0$ で狭義単調減少する。

端のようすは

f_{n} (0) = 1 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} > 0

であり、 $1 + cos \frac{x}{3}$ は $0$ 以上 $2$ 以下で有界、 $- \frac{1}{2} e^{n x} \to - \infty$ なので $x \to \infty$ で $f_{n} \to - \infty$ である。

$f_{n}$ は連続で狭義単調減少し、 $\frac{3}{2} > 0$ から $- \infty$ まで動くので、中間値の定理によって $f_{n} (x) = 0$ は $x > 0$ にただ1つ解をもつ。（証明終わり）

y = fₙ(x) のグラフ（図は n = 2）。x = 0 で 3/2 から始まり、ずっと減って −∞ に落ちる。x 軸と交わる点がただ1つの解 aₙ。

$n = 1$ で $0 ≦ x ≦ 5$ の $f_{n}^{'}$ の最大は $- 0.5$ で、つねに負だった。

(2)(1) の解を $a_{n}$ とするとき $n \to \infty lim a_{n}$ を求める

答 $n \to \infty lim a_{n} = 0$

$f_{n} (a_{n}) = 0$ から $e^{n a_{n}} = 2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3}) ≦ 4$ 。

$f_{n} (a_{n}) = 0$ より

\frac{1}{2} e^{n a_{n}} = 1 + cos \frac{a _{n}}{3}, e^{n a_{n}} = 2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3})

である。右辺は $0$ 以上 $4$ 以下なので $e^{n a_{n}} ≦ 4$ 、すなわち

n a_{n} ≦ lo g 4, 0 < a_{n} ≦ \frac{lo g 4}{n}

である（ $a_{n} > 0$ は (1) から）。はさみうちの原理より $n \to \infty lim a_{n} = 0$ である。

$n = 1, 2, 5, 20, 100$ で $a_{n} = 1.336, 0.687, 0.277, 0.0693, 0.01386$ と $0$ に近づいた。

(3) $n \to \infty lim n a_{n}$ を求める

答 $n \to \infty lim n a_{n} = lo g 4 = 2 lo g 2$

(2) の等式を $n a_{n}$ について解く。 $a_{n} \to 0$ なので $cos \frac{a _{n}}{3} \to 1$ 。

(2) の等式の両辺の対数をとると

n a_{n} = lo g {2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3})}

である。(2) より $a_{n} \to 0$ なので $cos \frac{a _{n}}{3} \to 1$ であり、 $lo g$ は連続だから

n \to \infty lim n a_{n} = lo g (2 \cdot 2) = lo g 4 = 2 lo g 2

である（ $1.3862 \dots$ ）。

$a_{n} \approx \frac{lo g 4}{n}$ ということ。(2) で作った上からの評価 $a_{n} ≦ \frac{lo g 4}{n}$ が、実はほぼ等号だったと分かる。

$n a_{n}$ は $n = 1, 2, 5, 20, 100$ で $1.3363, 1.3732, 1.3842, 1.3862, 1.38629$ となり、 $lo g 4 = 1.3862944$ に近づいた。

第1問だけのページ

第2問　複素数平面

複素数の1次変換・絶対値の条件・円板の和・等号が成り立つ場合当サイトの体感難易度：難

(1) $f (z) = z^{2} + α z + β$ とし、 $α, β$ は $∣ f (1) - 3 ∣ ≦ 1$ かつ $∣ f (i) - 1 ∣ ≦ 3$ をみたして動く。 $f (1 + i)$ がとりうる値の範囲を求める

答 $∣ f (1 + i) - (2 + 2 i) ∣ ≦ 22$ 。すなわち中心 $2 + 2 i$ 、半径 $22$ の円板（周を含む）

$f (1)$ と $f (i)$ を変数にとり直すと、 $f (1 + i)$ はその1次式で書ける。

$u = f (1) = 1 + α + β$ 、 $v = f (i) = - 1 + α i + β$ とおく。 $α, β$ が複素数全体を動くとき $u, v$ も独立に複素数全体を動く（ $u, v$ から $α, β$ が一意に決まる）。実際

u - v = 2 + α (1 - i), α = \frac{u - v - 2}{1 - i}, β = u - 1 - α

である。一方

f (1 + i) = (1 + i)^{2} + α (1 + i) + β = 2 i + α (1 + i) + β

で、 $β = u - 1 - α$ を入れると $α$ の項がまとまって

f (1 + i) = u - 1 + 2 i + α i

である。 $p = u - 3$ 、 $q = v - 1$ （条件は $∣ p ∣ ≦ 1$ 、 $∣ q ∣ ≦ 3$ ）とおくと $u - v - 2 = p - q$ なので

α i = \frac{( p - q ) i}{1 - i} = \frac{( p - q ) ( i - 1 )}{2}

である（分母を有理化した）。したがって

f (1 + i) = (p + 3) - 1 + 2 i + \frac{( p - q ) ( i - 1 )}{2} = (2 + 2 i) + \frac{p ( 1 + i ) + q ( 1 - i )}{2}

である。 $∣ 1 + i ∣ = ∣ 1 - i ∣ = 2$ なので

\frac{p ( 1 + i )}{2} ≦ \frac{2}{2}, \frac{q ( 1 - i )}{2} ≦ \frac{3 2}{2}

である。 $p$ は $∣ p ∣ ≦ 1$ の円板全体を動くので $\frac{p ( 1 + i )}{2}$ は半径 $\frac{2}{2}$ の円板全体を、同様に $\frac{q ( 1 - i )}{2}$ は半径 $\frac{3 2}{2}$ の円板全体を動く。2つは独立なので、和は半径

\frac{2}{2} + \frac{3 2}{2} = 22

の円板全体を動く。したがって $f (1 + i)$ がとりうる値の範囲は

∣ f (1 + i) - (2 + 2 i) ∣ ≦ 22

すなわち中心 $2 + 2 i$ 、半径 $22$ の円板（周を含む）である。

f(1+i) がとりうる値（塗った円板）。中心は 2 + 2i、半径は 2√2。原点までの距離もちょうど 2√2 なので、原点は円周の上にある。

条件をみたす $(α, β)$ を $10$ 万組とると、中心からの距離の最大は $2.8198$ で $22 = 2.8284$ に近づいた。

$α, β$ のまま動かそうとすると大変。 $f (1), f (i)$ を変数にとり直すと、条件がそのまま「2つの円板」になる。

(2) $f (1 + i) = 0$ であるとき、 $α, β$ の値を求める

答 $α = - 2 + i$ 、 $β = 3 - i$

原点は円板の周の上なので、2つの不等式で等号が成り立ち、向きも決まる。

$∣ 0 - (2 + 2 i) ∣ = ∣ 2 + 2 i ∣ = 22$ なので、原点は (1) の円板の周上にある。つまり

\frac{p ( 1 + i )}{2} + \frac{q ( 1 - i )}{2} = - (2 + 2 i)

で、左辺の2つの大きさの和がちょうど $22$ に等しい。和の絶対値が各項の絶対値の和に等しくなるのは、2つが同じ向きでそれぞれ最大の大きさをとるときに限る。 $- (2 + 2 i)$ の向きは $- \frac{1 + i}{2}$ なので

\frac{p ( 1 + i )}{2} = \frac{2}{2} \cdot (- \frac{1 + i}{2}) = - \frac{1 + i}{2}

より $p = - 1$ 、同じように

\frac{q ( 1 - i )}{2} = \frac{3 2}{2} \cdot (- \frac{1 + i}{2}) = - \frac{3 ( 1 + i )}{2}

より $q (1 - i) = - 3 (1 + i)$ 、すなわち $q = - \frac{3 ( 1 + i ) ^{2}}{2} = - 3 i$ である（ $∣ q ∣ = 3$ で条件に合う）。

したがって

u = f (1) = p + 3 = 2, v = f (i) = q + 1 = 1 - 3 i

である。(1) の式に入れると

α = \frac{u - v - 2}{1 - i} = \frac{- 1 + 3 i}{1 - i} = \frac{( - 1 + 3 i ) ( 1 + i )}{2} = - 2 + i

β = u - 1 - α = 2 - 1 - (- 2 + i) = 3 - i

である。

確かめ算： $f (1) = 1 + (- 2 + i) + (3 - i) = 2$ で $∣ 2 - 3 ∣ = 1$ 、 $f (i) = - 1 + (- 2 + i) i + (3 - i) = 1 - 3 i$ で $∣ 1 - 3 i - 1 ∣ = 3$ 。どちらもぎりぎり条件をみたしている。

$α = - 2 + i$ 、 $β = 3 - i$ で $f (1) = 2$ 、 $f (i) = 1 - 3 i$ 、 $f (1 + i) = 0$ になった。

三角不等式の等号は「向きがそろう」とき。大きさだけ最大にしても足りない。

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第3問　空間ベクトル

ねじれの位置・外積の向き・基底による分解・存在と一意性当サイトの体感難易度：やや難

空間内の2直線 $ℓ, m$ はねじれの位置にあるとする。 $ℓ$ と $m$ の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示す

答方向は $n = u \times v$ に限られ、 $BA = a u + b v + c n$ と分解すると $s = - a$ 、 $t = b$ とただ1通りに決まる

${u, v, n}$ が空間の基底になることを使う。ねじれの位置だから $c \neq = 0$ 。

$ℓ$ を点 $A$ と方向ベクトル $u$ で、 $m$ を点 $B$ と方向ベクトル $v$ で表す。ねじれの位置なので $ℓ$ と $m$ は平行でなく、交わらない。平行でないことから $u, v$ は1次独立で

n = u \times v \neq = 0

である。 $n$ は $u$ とも $v$ とも垂直なので、 ${u, v, n}$ は空間の基底になる。

方向は $n$ に限られる。

求める直線の方向ベクトルを $w$ とすると、 $ℓ$ とも $m$ とも垂直だから $w \cdot u = w \cdot v = 0$ である。 $u, v$ に垂直なベクトルは $n$ の定数倍に限るので、 $w$ は $n$ に平行である。

交わる点の決まり方。

求める直線が $ℓ$ と $P = A + s u$ で、 $m$ と $Q = B + t v$ で交わるとすると、 $QP$ が $n$ に平行であればよい。 $BA$ を基底で

BA = a u + b v + c n

と（ただ1通りに）分解すると

QP = BA + s u - t v = (a + s) u + (b - t) v + c n

である。これが $n$ の定数倍になるのは、基底の係数の一意性から

a + s = 0 かつ b - t = 0, つまり s = - a, t = b

のときに限る。すなわち $P, Q$ はただ1通りに決まる。

$P \neq = Q$ であること。

このとき $QP = c n$ である。もし $c = 0$ なら $P = Q$ となり、 $ℓ$ と $m$ が交わってしまう。これはねじれの位置であることに反するので $c \neq = 0$ である。よって $P \neq = Q$ で、2点 $P, Q$ を通る直線がただ1つ定まる。

この直線は方向が $n$ なので $ℓ$ とも $m$ とも垂直で、しかも $P$ で $ℓ$ と、 $Q$ で $m$ と交わるから、両方に直交する。逆に両方に直交する直線は上の議論から必ずこれになる。したがってそのような直線はただ1つである。（証明終わり）

$∣ c ∣ ∣ n ∣ = PQ$ が2直線の最短距離でもある。 $BA$ の $n$ 方向の成分がそのまま距離になる、という見方ができる。

ランダムに2万組のねじれた2直線を作って $s = - a$ 、 $t = b$ とすると、 $QP$ はどの場合も $u, v$ と直交し、 $P \neq = Q$ だった。

「方向が決まる」だけでは足りない。 $ℓ, m$ と実際に交わる位置がただ1通りであること、そして2点が一致しないことまで言う。

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第4問　積分（回転体）

y 軸のまわりの回転・円板と円環・ドーナツ形の体積・2次方程式当サイトの体感難易度：標準

(1) $a > 1$ とし、 $x y$ 平面で点 $(a, 0)$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする。 $C$ の $x ≧ a$ の部分と $y$ 軸および2直線 $y = 1$ 、 $y = - 1$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V_{1}$ を求める

答 $V_{1} = π (2 a^{2} + π a + \frac{4}{3})$

高さ $y$ の断面は半径 $a + 1 - y^{2}$ の円板。 $\int_{- 1}^{1} 1 - y^{2} d y = \frac{π}{2}$ を使う。

$C$ の $x ≧ a$ の部分は $x = a + 1 - y^{2}$ （ $- 1 ≦ y ≦ 1$ ）である。囲まれた図形は、各 $y$ について $0 ≦ x ≦ a + 1 - y^{2}$ の部分である。 $y$ 軸のまわりに回すと断面は円板なので

V_{1} = π \int_{- 1}^{1} (a + 1 - y^{2})^{2} d y = π \int_{- 1}^{1} {a^{2} + 2 a 1 - y^{2} + (1 - y^{2})} d y

である。それぞれ

\int_{- 1}^{1} a^{2} d y = 2 a^{2}, \int_{- 1}^{1} 1 - y^{2} d y = \frac{π}{2}, \int_{- 1}^{1} (1 - y^{2}) d y = \frac{4}{3}

である（2つめは半径 $1$ の半円の面積）。したがって

V_{1} = π (2 a^{2} + π a + \frac{4}{3})

である。

図は a = 2 のとき。円 C と、(1) で回転させる図形（塗った部分。y 軸・y = ±1・C の右半分で囲む）。(2) では円 C の内部そのものを回す。

$a = 1.5, 2, 4.566$ で数値積分した値と式が小数6桁まで一致した。

(2) $C$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $V_{2}$ とする。 $V_{1} = 2 V_{2}$ となる $a$ の値を求める

答 $a = \frac{9 π + 81 π ^{2} - 96}{12}$

$V_{2}$ は円環を積む。 $(a +)^{2} - (a -)^{2} = 4 a$ ときれいになる。

$a > 1$ なので円 $C$ は $y$ 軸と交わらず、 $x > 0$ の側にある。高さ $y$ の断面は、外半径 $a + 1 - y^{2}$ 、内半径 $a - 1 - y^{2}$ の円環である。

V_{2} = π \int_{- 1}^{1} {(a + 1 - y^{2})^{2} - (a - 1 - y^{2})^{2}} d y = π \int_{- 1}^{1} 4 a 1 - y^{2} d y

である。よって

V_{2} = 4 aπ \cdot \frac{π}{2} = 2 π^{2} a

である。 $V_{1} = 2 V_{2}$ は

π (2 a^{2} + π a + \frac{4}{3}) = 4 π^{2} a, 2 a^{2} - 3 π a + \frac{4}{3} = 0

すなわち $6 a^{2} - 9 π a + 4 = 0$ である。解は

a = \frac{9 π \pm 81 π ^{2} - 96}{12}

である。 $81 π^{2} - 96 = 26.52 \dots$ 、 $9 π = 28.27 \dots$ なので、 $-$ のほうは $0.146 \dots < 1$ で条件 $a > 1$ に反する。したがって

a = \frac{9 π + 81 π ^{2} - 96}{12}

である（ $4.566 \dots$ ）。

$V_{2} = 2 π^{2} a$ は「ドーナツの体積＝断面積 $π$ × 重心が回る長さ $2 π a$ 」でもある（パップス・ギュルダンの定理）。断面の計算と合う。

$a = 4.5663949$ で $V_{1} - 2 V_{2}$ が $- 2.8 \times 1 0^{- 14}$ になり、もう一方の解は $0.146$ で $a > 1$ に反した。

$a > 1$ という条件が効く。2解のうち小さいほうを落とさずに、きちんと外す理由を書く。

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第5問　整数

互いに素な個数・包除原理・オイラー関数・約数となる条件当サイトの体感難易度：難

(1) $1$ から $n$ までのうち $n$ と互いに素なものの個数を $f (n)$ とする。自然数 $a, b, c$ と相異なる素数 $p, q, r$ に対して $f (p^{a} q^{b} r^{c}) = p^{a - 1} q^{b - 1} r^{c - 1} (p - 1) (q - 1) (r - 1)$ を示す

答包除原理で $N (1 - \frac{1}{p}) (1 - \frac{1}{q}) (1 - \frac{1}{r})$ を計算する

$N = p^{a} q^{b} r^{c}$ と互いに素でないのは「 $p, q, r$ のどれかの倍数」。

$N = p^{a} q^{b} r^{c}$ とおく。 $1$ 以上 $N$ 以下の整数が $N$ と互いに素でないのは、 $p, q, r$ のどれかで割り切れるときである。 $1$ から $N$ までで $p$ の倍数は $\frac{N}{p}$ 個、 $pq$ の倍数は $\frac{N}{pq}$ 個、というふうに数えられるので、包除原理より

f (N) = N - (\frac{N}{p} + \frac{N}{q} + \frac{N}{r}) + (\frac{N}{pq} + \frac{N}{q r} + \frac{N}{r p}) - \frac{N}{pq r}

である。右辺は因数分解できて

f (N) = N (1 - \frac{1}{p}) (1 - \frac{1}{q}) (1 - \frac{1}{r})

となる。 $N = p^{a} q^{b} r^{c}$ を入れると

f (N) = p^{a} q^{b} r^{c} \cdot \frac{p - 1}{p} \cdot \frac{q - 1}{q} \cdot \frac{r - 1}{r} = p^{a - 1} q^{b - 1} r^{c - 1} (p - 1) (q - 1) (r - 1)

である。（証明終わり）

素因数が1種類なら $f (p^{a}) = p^{a - 1} (p - 1)$ 、2種類なら $f (p^{a} q^{b}) = p^{a - 1} q^{b - 1} (p - 1) (q - 1)$ と、同じ形になる。(2) ではこれらも使う。

3組の素数と $a, b, c \in {1, 2}$ で、数え上げた値と式が一致した。

(2) $f (n)$ が $n$ の約数となる $5$ 以上 $100$ 以下の自然数 $n$ をすべて求める

答 $n = 6, 8, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96$

まず $n$ が偶数であること、次に奇数部分が $3$ の冪に限ることを示す。

$n$ は偶数。 $n ≧ 5$ が奇数とすると、 $n$ は奇素数 $p$ をもち、 $f (n)$ は $p - 1$ （偶数）で割り切れるので偶数である。偶数は奇数の約数になれないので、 $f (n)$ は $n$ の約数にならない。

そこで $n = 2^{a} m$ （ $a ≧ 1$ 、 $m$ は奇数）と書く。(1) と同じ形の式から

f (n) = f (2^{a}) f (m) = 2^{a - 1} f (m)

である。

$m = 1$ のとき： $f (n) = 2^{a - 1}$ は $2^{a}$ の約数なので条件をみたす。 $5 ≦ 2^{a} ≦ 100$ から $n = 8, 16, 32, 64$ である。

$m > 1$ のとき： $m$ の奇素数 $p$ について $f (m)$ は $p - 1$ （偶数）で割り切れるので、 $f (m) = 2^{s} t$ （ $t$ は奇数、 $s ≧ 1$ ）と書ける。このとき

f (n) = 2^{a - 1 + s} t

で、これが $n = 2^{a} m$ （ $2$ の指数は $a$ ）の約数になるには $a - 1 + s ≦ a$ 、つまり $s = 1$ が必要である。

もし $m$ が相異なる奇素数 $p, q$ をもつと、 $f (m)$ は $(p - 1) (q - 1)$ で割り切れて $4$ の倍数になり $s ≧ 2$ となる。よって $m = p^{b}$ （ $p$ は奇素数、 $b ≧ 1$ ）である。

f (m) = p^{b - 1} (p - 1)

なので、 $s = 1$ は $p - 1 \equiv 2 (mod 4)$ を意味する。さらに $f (n) = 2^{a - 1} p^{b - 1} (p - 1) = 2^{a} p^{b - 1} \cdot \frac{p - 1}{2}$ が $2^{a} p^{b}$ の約数になるには、 $\frac{p - 1}{2}$ が $p$ の約数でなければならない。 $p - 1$ と $p$ は互いに素なので

\frac{p - 1}{2} = 1, p = 3

である（このとき $p - 1 = 2$ で $s = 1$ も成り立つ）。したがって $n = 2^{a} 3^{b}$ （ $a, b ≧ 1$ ）である。逆にこの形なら $f (n) = 2^{a - 1} \cdot 3^{b - 1} \cdot 2 = 2^{a} 3^{b - 1}$ で、確かに $n$ の約数である。

$5 ≦ 2^{a} 3^{b} ≦ 100$ を数え上げると

$b = 1$ ： $6, 12, 24, 48, 96$
$b = 2$ ： $18, 36, 72$
$b = 3$ ： $54$

である。 $m = 1$ の場合と合わせて

n = 6, 8, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96

の $13$ 個である。

答えは「 $2$ の冪」と「 $2$ の冪 × $3$ の冪」。 $f (n)$ は $n$ に $\frac{p - 1}{p}$ を掛けていく関数なので、分母の $p$ を $n$ 側でちょうど吸収できるのが $p = 2, 3$ だけ、と見ると納得しやすい。

$5 ≦ n ≦ 100$ を全部調べると、 $f (n) ∣ n$ となるのはこの $13$ 個だけだった。

「 $2$ の指数」を比べるのがかぎ。 $f (m)$ が $4$ の倍数になると、もう $n$ の $2$ の指数に収まらない。

第5問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)自然数 n に対して fn​(x)=1−21​enx+cos3x​（x≧0）とする。fn​(x)=0 がただ1つの実数解をもつことを示す

(2)(1) の解を an​ とするとき n→∞lim​an​ を求める

(3)n→∞lim​nan​ を求める

(1)f(z)=z2+αz+β とし、α,β は ∣f(1)−3∣≦1 かつ ∣f(i)−1∣≦3 をみたして動く。f(1+i) がとりうる値の範囲を求める

(2)f(1+i)=0 であるとき、α,β の値を求める

空間内の2直線 ℓ,m はねじれの位置にあるとする。ℓ と m の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示す

(1)a>1 とし、xy 平面で点 (a,0) を中心とする半径 1 の円を C とする。C の x≧a の部分と y 軸および2直線 y=1、y=−1 で囲まれた図形を y 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V1​ を求める

(2)C で囲まれた図形を y 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を V2​ とする。V1​=2V2​ となる a の値を求める

(1)1 から n までのうち n と互いに素なものの個数を f(n) とする。自然数 a,b,c と相異なる素数 p,q,r に対して f(paqbrc)=pa−1qb−1rc−1(p−1)(q−1)(r−1) を示す

(2)f(n) が n の約数となる 5 以上 100 以下の自然数 n をすべて求める

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(1)自然数 $n$ に対して $f_{n} (x) = 1 - \frac{1}{2} e^{n x} + cos \frac{x}{3}$ （ $x ≧ 0$ ）とする。 $f_{n} (x) = 0$ がただ1つの実数解をもつことを示す

(2)(1) の解を $a_{n}$ とするとき $n \to \infty lim a_{n}$ を求める

(3) $n \to \infty lim n a_{n}$ を求める

(1) $f (z) = z^{2} + α z + β$ とし、 $α, β$ は $∣ f (1) - 3 ∣ ≦ 1$ かつ $∣ f (i) - 1 ∣ ≦ 3$ をみたして動く。 $f (1 + i)$ がとりうる値の範囲を求める

(2) $f (1 + i) = 0$ であるとき、 $α, β$ の値を求める

空間内の2直線 $ℓ, m$ はねじれの位置にあるとする。 $ℓ$ と $m$ の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示す

(1) $a > 1$ とし、 $x y$ 平面で点 $(a, 0)$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする。 $C$ の $x ≧ a$ の部分と $y$ 軸および2直線 $y = 1$ 、 $y = - 1$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V_{1}$ を求める

(2) $C$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $V_{2}$ とする。 $V_{1} = 2 V_{2}$ となる $a$ の値を求める

(1) $1$ から $n$ までのうち $n$ と互いに素なものの個数を $f (n)$ とする。自然数 $a, b, c$ と相異なる素数 $p, q, r$ に対して $f (p^{a} q^{b} r^{c}) = p^{a - 1} q^{b - 1} r^{c - 1} (p - 1) (q - 1) (r - 1)$ を示す

(2) $f (n)$ が $n$ の約数となる $5$ 以上 $100$ 以下の自然数 $n$ をすべて求める