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大阪大学　2020年度　前期日程　理系

第5問積分・図形の解答・解説

回転体の体積・ヘロンの公式・2次関数の最大・対称性当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1)3辺の長さの和が $2$ である三角形 $ABC$ において、辺 $BC$ の長さを $a$ 、辺 $CA$ の長さを $b$ とする。 $BC$ を軸として1回転させてできる回転体の体積を $V$ とする。 $a$ を固定して $b$ を変化させるとき、 $V$ が最大になるのは $BC$ を底辺とする二等辺三角形のときであることを示す

答 $V = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{( 1 - a ) ( 1 - b ) ( a + b - 1 )}{a}$ 。 $b$ の2次関数 $(1 - b) (a + b - 1)$ は $b = 1 - \frac{a}{2}$ で最大になり、このとき $c = 2 - a - b = 1 - \frac{a}{2} = b$

$V = \frac{π}{3} a h^{2}$ （ $h$ は $A$ から $BC$ への距離）とヘロンの公式を組み合わせる。

$c = AB = 2 - a - b$ とおく。 $A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ 、 $AH = h$ とする。

回転体は、 $H$ が線分 $BC$ の内部にあるときは「底面の半径 $h$ の2つの円錐を底面どうしで貼り合わせたもの」、 $H$ が外にあるときは「大きい円錐から小さい円錐を取り除いたもの」である。どちらの場合も、 $H$ から $B$ 、 $C$ までの距離を $d_{1}, d_{2}$ とすると高さの和（または差）が $a$ になるので

V = \frac{π}{3} h^{2} d_{1} \pm \frac{π}{3} h^{2} d_{2} = \frac{π}{3} a h^{2}

と、同じ式になる。

三角形の面積を $T$ とすると $T = \frac{1}{2} ah$ なので $h = \frac{2 T}{a}$ であり

V = \frac{π}{3} a \cdot \frac{4 T ^{2}}{a ^{2}} = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{T ^{2}}{a}

である。周の長さが $2$ なので、ヘロンの公式の $s = \frac{a + b + c}{2} = 1$ であり

T^{2} = s (s - a) (s - b) (s - c) = (1 - a) (1 - b) (1 - c)

である。 $1 - c = 1 - (2 - a - b) = a + b - 1$ なので

V = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{( 1 - a ) ( 1 - b ) ( a + b - 1 )}{a} \dots (*)

である。

$a$ を固定する。 $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1 - a}{a}$ は正の定数なので、 $V$ の最大は

g (b) = (1 - b) (a + b - 1)

の最大で決まる。 $g$ は $b$ の2次関数で $b^{2}$ の係数が $- 1 < 0$ 、2つの零点が $b = 1$ と $b = 1 - a$ なので、頂点は

b = \frac{1 + ( 1 - a )}{2} = 1 - \frac{a}{2}

である。三角形になるための $b$ の範囲は $1 - a < b < 1$ （ $T^{2} > 0$ すなわち $(1 - b) (a + b - 1) > 0$ ）で、頂点 $b = 1 - \frac{a}{2}$ はこの区間のちょうど真ん中にあるから、ここで最大をとる。

このとき

c = 2 - a - b = 2 - a - (1 - \frac{a}{2}) = 1 - \frac{a}{2} = b

なので $b = c$ 、すなわち三角形 $ABC$ は $BC$ を底辺とする二等辺三角形である。 $■$

辺 BC を軸に 1 回転させたときの断面。A から BC に下ろした垂線 AH の長さ h が回転体の半径で、体積は V = (π/3)ah²。H が BC の外に出ても、2 つの円錐の差として同じ式になる。

$a$ を $0.1$ 刻みで固定して $b$ を $2$ 万等分して走査すると、最大を与える $b$ はつねに $1 - \frac{a}{2}$ だった。

$H$ が $BC$ の外に出る（ $B$ または $C$ が鈍角）場合も $V = \frac{π}{3} a h^{2}$ でよい。差をとると高さが $a$ に戻るからで、ここをことわらずに「2つの円錐」とだけ書くと場合分け漏れになる。

$b$ の動く範囲を書かないと「頂点が範囲内にある」ことが言えない。 $1 - a < b < 1$ を出しておく。

(2) $a, b$ をともに変化させるとき、 $V$ の最大値と、最大値を与える $a, b$ の値を求める

答最大値 $\frac{π}{12}$ 、 $a = \frac{1}{2}$ 、 $b = \frac{3}{4}$

(1) より $b = 1 - \frac{a}{2}$ に限ってよい。代入すると $V = \frac{π}{3} a (1 - a)$ 。

(1) より、 $a$ を決めるごとに最大を与える $b$ は $b = 1 - \frac{a}{2}$ である。このとき

1 - b = \frac{a}{2}, a + b - 1 = a + 1 - \frac{a}{2} - 1 = \frac{a}{2}

なので、 $(*)$ に代入して

V = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{( 1 - a ) \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}{a} = \frac{π}{3} a (1 - a)

である。 $a$ の範囲を確かめる。 $b = c = 1 - \frac{a}{2}$ が三角形をなす条件は $b + c > a$ 、すなわち $2 - a > a$ より $a < 1$ で、長さが正であることから $a > 0$ である。よって

0 < a < 1

である。 $a (1 - a)$ は上に凸の2次関数で

a (1 - a) = - (a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}

なので、 $a = \frac{1}{2}$ で最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。したがって

V_{m a x} = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{12}

であり、そのとき

a = \frac{1}{2}, b = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} (= c)

である。3辺は $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4}$ で、和はたしかに $2$ である。

最大を与えるのは正三角形（3辺 $\frac{2}{3}$ ずつ）ではない。軸にする辺 $BC$ は短めのほうが得で、 $a : b : c = 2 : 3 : 3$ になる。 $V = \frac{π}{3} a (1 - a)$ の形から、 $a$ が小さいと半径は稼げても高さが足りず、 $a$ が大きいと逆になることがわかる。

$1500 \times 1500$ の格子走査で最大 $0.261798904$ （ $a = 0.50067$ 、 $b = 0.74960$ ）、 $\frac{π}{12} = 0.261799388$ と一致した。

(1) で $b$ を最適化したあと、 $a$ についても範囲 $0 < a < 1$ を確かめる。これを飛ばすと頂点が範囲外の可能性を潰せない。

「対称性があるから正三角形が最大」と即断しない。回転軸にする辺だけ役割が違うので、対称性は $b$ と $c$ の間にしかない。

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(2)a,b をともに変化させるとき、V の最大値と、最大値を与える a,b の値を求める

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