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大阪大学　2020年度　前期日程　理系

第2問確率・複素数平面の解答・解説

複素数の積と偏角・剰余による分類・確率漸化式・極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1)1個のさいころを $n$ 回投げ、 $k$ 回目の目が $1$ なら $X_{k} = 1$ 、 $2$ なら $X_{k} = - 1$ 、その他なら $X_{k} = 0$ とする。 $Y_{k} = cos \frac{π}{3} X_{k} + i sin \frac{π}{3} X_{k}$ 、 $Z_{n} = Y_{1} Y_{2} \dots Y_{n}$ とおく。 $Z_{2}$ が実数でない確率を求める

答 $\frac{1}{2}$

$Z_{n}$ の偏角は $\frac{π}{3} S_{n}$ （ $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ ）。実数 $⟺$ $S_{n}$ が $3$ の倍数。

ド・モアブルの定理より $Y_{k} = e^{i \frac{π}{3} X_{k}}$ と書けるので

Z_{n} = e^{i \frac{π}{3} S_{n}}, S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

である。 $∣ Z_{n} ∣ = 1$ なので、 $Z_{n}$ が実数であることは $sin \frac{π}{3} S_{n} = 0$ 、すなわち $\frac{π}{3} S_{n}$ が $π$ の整数倍であること、つまり

S_{n} が 3 の倍数

と同値である。

各回の $X_{k}$ は $1, - 1, 0$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ でとる。 $n = 2$ のとき $∣ S_{2} ∣ \leq 2$ なので、 $S_{2}$ が $3$ の倍数になるのは $S_{2} = 0$ のときだけである。これは

2回とも $X = 0$ ：確率 $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$
一方が $1$ 、他方が $- 1$ ：確率 $2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$

の2通りで、合わせて

P (S_{2} = 0) = \frac{4}{9} + \frac{1}{18} = \frac{8 + 1}{18} = \frac{1}{2}

である。よって $Z_{2}$ が実数でない確率は

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

である。

Yₖ は単位円上の 3 点のどれか（角 0、π/3、−π/3）。Zₙ は角 (π/3)Sₙ の点なので、Zₙ が実数になるのは点が 1 か −1 にあるとき、つまり Sₙ が 3 の倍数のときだけ。

$n = 2$ の全列挙でも $Z_{2}$ が実数になる確率は $\frac{1}{2}$ だった。

$Z_{n}$ の絶対値は $1$ なので、「実数」とは $\pm 1$ のこと。 $0$ になることはない。

(2) $Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}$ がいずれも実数でない確率を求める

答 $\frac{1}{3} (\frac{5}{6})^{n - 1}$

$S_{k}$ を $3$ で割った余りの動きを見る。 $0$ から出て、一度も $0$ に戻らない確率。

$S_{k}$ を $3$ で割った余り $r_{k} \in {0, 1, 2}$ を追う。 $r_{0} = 0$ で、各回 $r$ は確率 $\frac{1}{6}$ ずつ $\pm 1$ 動き、確率 $\frac{2}{3}$ で動かない（法 $3$ で考える）。条件は

r_{1} \neq = 0, r_{2} \neq = 0, \dots, r_{n} \neq = 0

である。

1回目。 $r_{0} = 0$ から $r_{1} \neq = 0$ になるのは $X_{1} = \pm 1$ のときで、確率は $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ である。

2回目以降。いま $r_{k} \neq = 0$ （ $r_{k} = 1$ または $2$ ）だとする。 $r_{k} = 1$ のとき $r_{k + 1} = 0$ になるのは $X_{k + 1} = - 1$ のときだけ、 $r_{k} = 2$ のとき $r_{k + 1} = 0$ になるのは $X_{k + 1} = 1$ のときだけである。どちらの場合も確率 $\frac{1}{6}$ なので、 $0$ にならない確率は

1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

である。これは $r_{k}$ が $1$ でも $2$ でも同じ値であり、しかも各回の $X$ は独立なので、そのまま掛け算してよい。

したがって求める確率は

\frac{1}{3} (\frac{5}{6})^{n - 1}

である。

$n = 1, \dots, 6$ の全列挙で $\frac{1}{3}, \frac{5}{18}, \frac{25}{108}, \frac{125}{648}, \frac{625}{3888}, \frac{3125}{23328}$ となり、式と完全に一致した。

「 $0$ に戻らない確率」が $r_{k} = 1$ か $2$ かによらず $\frac{5}{6}$ で一定なのが鍵。ここが場合によって違うと単純な積にはできない。

$n = 1$ のとき答えは $\frac{1}{3}$ で、 $(\frac{5}{6})^{0} = 1$ と整合する。

(3) $Z_{n}$ が実数となる確率を $p_{n}$ とする。 $p_{n}$ を $n$ で表し、 $n \to \infty lim p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n} = \frac{2 ^{n - 1} + 1}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}$ 、極限は $\frac{1}{3}$

$p_{n} = P (r_{n} = 0)$ の漸化式を作る。対称性から $P (r_{n} = 1) = P (r_{n} = 2)$ 。

$p_{n} = P (r_{n} = 0)$ 、 $q_{n} = P (r_{n} = 1)$ 、 $s_{n} = P (r_{n} = 2)$ とおく。 $X$ は $+ 1$ と $- 1$ を同じ確率でとり、出発点が $0$ なので、 $S_{n}$ と $- S_{n}$ は同じ分布をもつ。よって

q_{n} = s_{n} = \frac{1 - p _{n}}{2}

である。

$r_{n + 1} = 0$ になるのは、 $r_{n} = 0$ で $X_{n + 1} = 0$ 、 $r_{n} = 1$ で $X_{n + 1} = - 1$ 、 $r_{n} = 2$ で $X_{n + 1} = 1$ の3通りなので

p_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6} q_{n} + \frac{1}{6} s_{n} = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n}) = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{6}

である。特性方程式 $α = \frac{1}{2} α + \frac{1}{6}$ の解は $α = \frac{1}{3}$ なので

p_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} (p_{n} - \frac{1}{3})

である。 $p_{0} = 1$ （ $S_{0} = 0$ は $3$ の倍数）なので $p_{0} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ であり

p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n} = \frac{2 ^{n - 1} + 1}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}

である。実際 $p_{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ （ $X_{1} = 0$ のとき）、 $p_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ で (1) と合う。

$\frac{1}{2} < 1$ なので

n \to \infty lim p_{n} = \frac{1}{3}

である。

極限 $\frac{1}{3}$ は、余り $0, 1, 2$ が平等に近づくことを意味している。(2) の確率が $(\frac{5}{6})^{n - 1}$ で $0$ に落ちるのとは対照的に、 $p_{n}$ は $\frac{1}{3}$ に落ち着く。

$n = 1, \dots, 6$ の全列挙で $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{5}{12}, \frac{3}{8}, \frac{17}{48}, \frac{11}{32}$ となり、式と完全に一致した。

$p_{0} = 1$ から始めると式がきれいになる。 $p_{1} = \frac{2}{3}$ から始めても同じ式になるが、初項の扱いを間違えやすい。

▸ 別解：1の3乗根を使う

$ω = e^{\frac{2 π i}{3}}$ とおく。 $\frac{1 + ω ^{m} + ω ^{2 m}}{3}$ は $m$ が $3$ の倍数なら $1$ 、そうでなければ $0$ なので

p_{n} = E [\frac{1 + ω ^{S_{n}} + ω ^{2 S_{n}}}{3}] = \frac{1 + E [ ω ^{S_{n}} ] + E [ ω ^{2 S_{n}} ]}{3}

である。独立性から $E [ω^{S_{n}}] = (E [ω^{X}])^{n}$ で

E [ω^{X}] = \frac{1}{6} ω + \frac{1}{6} ω^{- 1} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} cos \frac{2 π}{3} + \frac{2}{3} = - \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

である。 $ω^{2}$ についても同じく $\frac{1}{2}$ なので

p_{n} = \frac{1 + 2 ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n}

となり、同じ式が得られる。

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(1)1個のさいころを n 回投げ、k 回目の目が 1 なら Xk​=1、2 なら Xk​=−1、その他なら Xk​=0 とする。Yk​=cos3π​Xk​+isin3π​Xk​、Zn​=Y1​Y2​⋯Yn​ とおく。Z2​ が実数でない確率を求める

(2)Z1​,Z2​,…,Zn​ がいずれも実数でない確率を求める

(3)Zn​ が実数となる確率を pn​ とする。pn​ を n で表し、n→∞lim​pn​ を求める

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