大阪大学　2020年度　前期日程　理系

第3問三角比・数列の解答・解説

正弦定理・数学的帰納法・三角関数の不等式・角の和当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

答正弦定理より $c = b \frac{sin n β}{sin β}$ （ $β = ∠ ABC$ ）。 $n \geq 2$ 、 $0 < β < π$ のとき $∣ sin n β ∣ < n sin β$ が帰納法で示せるので $c < nb$

正弦定理で $\frac{c}{b}$ を角だけの式にし、 $∣ sin n θ ∣ < n sin θ$ を加法定理と帰納法で示す。

$β = ∠ ABC$ とおくと $∠ ACB = n β$ である。三角形の内角の和より

∠ BAC = π - (n + 1) β > 0, 0 < β < \frac{π}{n + 1}

である。とくに $0 < β < π$ かつ $0 < n β < π$ なので $sin β > 0$ 、 $sin n β > 0$ である。

正弦定理より、外接円の直径を $2 R$ として

b = CA = 2 R sin (∠ ABC) = 2 R sin β, c = AB = 2 R sin (∠ ACB) = 2 R sin n β

である（辺の対角をとる）。よって

\frac{c}{b} = \frac{sin n β}{sin β}

であり、示すべきことは $sin n β < n sin β$ である。より強く、次を示す。

補題。 $0 < θ < π$ と $2$ 以上の自然数 $m$ に対し $∣ sin m θ ∣ < m sin θ$ である。

証明。 $0 < θ < π$ では $sin θ > 0$ である。 $m = 2$ のとき

∣ sin 2 θ ∣ = 2 sin θ ∣ cos θ ∣ < 2 sin θ

である（ $0 < θ < π$ より $∣ cos θ ∣ < 1$ ）。 $m = k$ （ $k \geq 2$ ）で成り立つとすると、加法定理より

∣ sin (k + 1) θ ∣ = ∣ sin k θ cos θ + cos k θ sin θ ∣ \leq ∣ sin k θ ∣ ∣ cos θ ∣ + ∣ cos k θ ∣ sin θ \leq ∣ sin k θ ∣ + sin θ < k sin θ + sin θ = (k + 1) sin θ

である（最後の不等号で帰納法の仮定を使った）。よってすべての $m \geq 2$ で成り立つ。 $■$

補題を $θ = β$ 、 $m = n$ に使うと $sin n β \leq ∣ sin n β ∣ < n sin β$ である。 $b > 0$ 、 $sin β > 0$ なので

c = b \cdot \frac{sin n β}{sin β} < b \cdot n = nb

である。 $■$

n = 3、∠ABC = 30°、∠ACB = 90° の場合。a = BC = 1 とすると b = CA ≒ 0.577、c = AB ≒ 1.155 で、たしかに c < 3b ≒ 1.732 になっている。

$n = 2, \dots, 8$ の $30$ 万組で $\frac{sin n β}{sin β} < n$ の違反は $0$ 件だった。

正弦定理で対応する角を取り違えやすい。辺 $CA$ の対角は $∠ ABC$ 、辺 $AB$ の対角は $∠ ACB$ である。

帰納法を回すには $∣ sin k θ ∣$ （絶対値つき）で仮定しておく必要がある。 $sin k θ < k sin θ$ だけだと $cos θ < 0$ のときに掛け算の向きが崩れる。

$n \geq 2$ が効いているのは $∣ cos θ ∣ < 1$ を1回使えるところ。 $n = 1$ なら等号になる。

▸ 別解：微分で一気に（こちらのほうが短い）

$F (θ) = n sin θ - sin n θ$ とおく。 $F (0) = 0$ で

F^{'} (θ) = n cos θ - n cos n θ = n (cos θ - cos n θ)

である。いま $0 < θ < \frac{π}{n + 1}$ を考える。このとき $0 < θ < n θ < \frac{nπ}{n + 1} < π$ であり（ $n \geq 2$ と $θ > 0$ より $θ < n θ$ ）、 $cos$ は $[0, π]$ で狭義単調減少なので

cos θ > cos n θ, F^{'} (θ) > 0

である。よって $F$ は $0 \leq θ < \frac{π}{n + 1}$ で増加し、 $F (θ) > F (0) = 0$ 、すなわち $sin n θ < n sin θ$ である。 $θ = β$ として $c < nb$ を得る。

補題の形（ $0 < θ < π$ すべてで $∣ sin m θ ∣ < m sin θ$ ）までは出ないが、この問題で必要な範囲 $0 < β < \frac{π}{n + 1}$ ではこれで十分で、帰納法より手数が少ない。

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

合格答案をつくる阪大理系数学 2027

阪大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・120ページ・2026年7月27日発売

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。