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大阪大学　2020年度　前期日程　理系

第1問微分・極限の解答・解説

対数微分法・増減表・極限・グラフの概形当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1) $f (x) = (x + 1)^{\frac{1}{x + 1}}$ （ $x \geq 0$ ）の最大値を求める

答 $e^{\frac{1}{e}}$ （ $x = e - 1$ のとき）

$lo g f = \frac{lo g ( x + 1 )}{x + 1}$ を微分する。

$x \geq 0$ では $x + 1 \geq 1 > 0$ なので $f (x) > 0$ であり、対数がとれる。

lo g f (x) = \frac{lo g ( x + 1 )}{x + 1}

である。両辺を $x$ で微分すると

\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} = \frac{\frac{1}{x + 1} ( x + 1 ) - lo g ( x + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - lo g ( x + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}}

すなわち

f^{'} (x) = f (x) \cdot \frac{1 - lo g ( x + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}}

である。 $f (x) > 0$ 、 $(x + 1)^{2} > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $1 - lo g (x + 1)$ の符号と同じである。

1 - lo g (x + 1) = 0 ⟺ x + 1 = e ⟺ x = e - 1

であり、 $lo g$ は増加関数なので、 $0 \leq x < e - 1$ では $f^{'} > 0$ 、 $x > e - 1$ では $f^{'} < 0$ である。よって $f$ は $x = e - 1$ で最大になり、最大値は

f (e - 1) = e^{\frac{1}{e}}

である（ $e^{1/ e} ≑ 1.4447$ ）。

$20$ 万等分の走査で最大 $1.444667861$ （ $x = 1.7183$ ）、 $e^{1/ e} = 1.444667861$ と一致した。

$(x + 1)^{\frac{1}{x + 1}}$ は底も指数も動くので、そのままでは微分の公式が使えない。対数をとるか $e^{\frac{l o g ( x + 1 )}{x + 1}}$ と書き直す。

$x \geq 0$ という定義域の左端 $x = 0$ でも $f (0) = 1$ が定まる。端点も増減表に入れておく。

(2) $x \to \infty lim f (x)$ と $x \to \infty lim f^{'} (x)$ を求める（ $x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$ を用いてよい）

答 $x \to \infty lim f (x) = 1$ 、 $x \to \infty lim f^{'} (x) = 0$

$lo g f = \frac{lo g ( x + 1 )}{x + 1} \to 0$ から $f \to 1$ 。 $f^{'}$ は $f$ と $\frac{1 - lo g ( x + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}}$ の積。

$u = x + 1$ とおくと $x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ で

lo g f (x) = \frac{lo g u}{u} ⟶ 0

である。 $e^{v}$ は連続なので

x \to \infty lim f (x) = e^{0} = 1

である。

次に $f^{'}$ を見る。(1) より

f^{'} (x) = f (x) \cdot \frac{1 - lo g u}{u ^{2}} = f (x) \cdot (\frac{1}{u ^{2}} - \frac{1}{u} \cdot \frac{lo g u}{u})

である。 $u \to \infty$ のとき $\frac{1}{u ^{2}} \to 0$ 、 $\frac{1}{u} \to 0$ 、 $\frac{lo g u}{u} \to 0$ なので、括弧の中は $0$ に収束する。 $f (x) \to 1$ だから

x \to \infty lim f^{'} (x) = 1 \cdot 0 = 0

である。

$f (1 0^{9}) = 1.0000000$ 、 $f^{'} (1 0^{5}) = - 1.0 \times 1 0^{- 9}$ だった。

$\frac{lo g u}{u ^{2}}$ を直接 $0$ と言うのではなく、与えられた $\frac{lo g u}{u} \to 0$ に $\frac{1}{u} \to 0$ を掛ける形に直して使うと、根拠がはっきりする。

(3) $y = f (x)$ のグラフの概形をかく（凹凸は調べなくてよい）

答 $(0, 1)$ から出て増加し、 $x = e - 1$ で最大値 $e^{1/ e}$ をとったあと減少し、直線 $y = 1$ に上から近づく

(1) の増減と (2) の漸近線をつなぐ。

(1)(2) をまとめると、 $x \geq 0$ での $f$ の様子は

$f (0) = 1^{1} = 1$ から始まる。
$0 \leq x < e - 1$ で増加し、 $x = e - 1 ≑ 1.718$ で最大値 $e^{1/ e} ≑ 1.445$ をとる。
$x > e - 1$ で減少する。
$x \to \infty$ で $f (x) \to 1$ 、かつ $f^{'} (x) \to 0$ なので、直線 $y = 1$ が漸近線で、グラフはそこへ水平に寝ていく。

である。なお $x > 0$ では $lo g (x + 1) > 0$ より $lo g f (x) > 0$ 、つまり $f (x) > 1$ なので、グラフは漸近線 $y = 1$ の上側から近づく。

y = f(x) の概形。x = 0 で 1、x = e − 1 ≒ 1.718 で最大値 e^(1/e) ≒ 1.445、そのあとは減少して点線 y = 1 に上から近づく。

数値でも $f$ は $x = 1.7183$ で最大 $1.4447$ 、 $x = 1 0^{9}$ で $1.0000000$ だった。

$y = 1$ に上から近づくこと、 $x = 0$ でも値が $1$ であることを図に反映させる。左端と漸近線が同じ高さなのがこのグラフの特徴。

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問題文について

(1)f(x)=(x+1)x+11​（x≥0）の最大値を求める

(2)x→∞lim​f(x) と x→∞lim​f′(x) を求める（x→∞lim​xlogx​=0 を用いてよい）

(3)y=f(x) のグラフの概形をかく（凹凸は調べなくてよい）

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